성동구고2수학과외

성동구고2수학과외, 로그를 취한 뒤에도 해의 조건을 끝까지 확인하는 지수부등식 풀이

성동구의 금호동·왕십리·성수동처럼 통학 동선과 학교별 과제 시간이 달라지는 환경에서는 짧은 풀이를 빠르게 끝내려는 습관이 생기기 쉽다. 그러나 지수부등식은 계산 한 줄보다 그 계산이 허용되는 조건을 먼저 설명해야 한다. 성수고등학교, 무학여자고등학교, 도선고등학교, 금호고등학교 등에서 고2 수학을 공부할 때도 같은 판단이 필요하다.

“3^x<5”에서 로그를 취하기 전 확인할 것

풀이 기록에는 다음과 같은 식이 남아 있었다.

3^x<5에서 양변에 로그를 취하면 x<log₃5.

결과 자체는 맞지만, 학생은 왜 부등호 방향이 유지되는지와 로그의 밑이 가능한지를 적지 않았다. 이 문제에서 3과 5는 모두 양수이고, 로그의 밑 3은

3>0, 3≠1

을 만족한다. 또 밑이 3보다 큰 로그함수는 증가하므로

3^x<5 ⇔ log₃(3^x)<log₃5 ⇔ x<log₃5

가 된다. 로그를 취했다는 사실만으로 부등호가 유지되는 것이 아니라, 밑 3인 로그함수가 증가함수이기 때문에 같은 방향으로 비교한 것이다.

계산보다 먼저 적어야 하는 해의 교집합

다음 문제처럼 별도의 조건이 붙으면 지수부등식의 해만 구해서 끝내서는 안 된다.

1≤x≤2이고 3^x<5일 때 x의 범위를 구하여라.

지수부등식에서 얻는 결과는

x<log₃5

이다. 그런데 전체 조건은 1≤x≤2이므로 최종 해는 두 범위의 교집합이다.

[1, 2] ∩ (−∞, log₃5) = [1, log₃5)

실제로 3¹=3<5이고 3²=9>5이므로 log₃5는 1과 2 사이에 있다. 따라서 끝점 1은 포함되지만, log₃5는 3^x<5를 만족시키지 않으므로 포함되지 않는다.

기호의 뜻을 말로 바꾸고 식을 한 줄만 고치기

풀이를 바로 다시 쓰게 하지 않고, 학생에게 먼저 “3^x<5에서 <는 무엇을 뜻하는가?”라고 묻는다. “왼쪽 값이 오른쪽 값보다 작다는 뜻”이라고 말한 뒤, 그 설명과 맞도록 다음 한 줄을 완성한다.

3^x<5 ⇔ log₃(3^x)<log₃5

이때 밑 조건도 함께 적는다.

3>0, 3≠1

그다음 별도 조건 1≤x≤2를 다시 옆에 써서, x<log₃5와 교집합을 구한다. 이렇게 하면 로그 비교의 근거와 최종 범위가 한 답안 안에서 연결된다.

부호가 바뀐 비교에서 기준이 유지되는지 확인하기

조건을 바꾼 문제로 다음을 제시한다.

−2≤x<1이고 3^x>4일 때 x의 범위를 구하여라.

밑 3은 1보다 크므로 로그함수는 증가한다.

3^x>4 ⇔ x>log₃4

또한 3¹=3<4이므로 log₃4>1이다. 따라서 x>log₃4와 −2≤x<1의 교집합은 없다.

[−2, 1) ∩ (log₃4, ∞) = ∅

새 조건에서도 로그의 밑이 양수이고 1이 아닌지, 부등호 방향이 증가성에 맞는지, 마지막에 조건과의 교집합을 확인했다면 계산 순서가 아니라 수학적 기준을 적용한 것이다.