성동구고1수학과외, 여러 조건에서 p·q·a를 정하는 순서
금호동이나 왕십리처럼 학교와 귀가 동선이 다른 생활권에서는 학교 프린트와 문제집을 짧은 시간에 번갈아 풀게 된다. 이때 조건이 많은 문제의 식을 중간 계산만 이어서 풀면, 계산은 맞아도 처음 제시된 조건을 확인하지 않는 답안이 남기 쉽다. 특히 문자 p, q, a가 서로 연결된 문제에서는 무엇을 먼저 정할지 나누는 판단이 필요하다.
두 근의 관계를 먼저 식으로 바꾸기
다음 이차함수를 보자.
함수 f(x)=x²+px+q의 두 근이 a, a+2이고, f(1)=3이다. 또한 a>0일 때 p, q, a를 구하여라.
이 문제에서 세 문자를 한꺼번에 계산하려 하면 식의 출발점이 흔들린다. 먼저 두 근의 합과 곱을 이용하면
a+(a+2)=-p이므로 p=-2a-2이고,
a(a+2)=q이므로 q=a²+2a이다.
따라서 아직 p와 q를 숫자로 정한 것이 아니라, a를 기준으로 p와 q를 표현한 상태다. 이처럼 근의 조건은 p와 q를 a에 연결하는 단계로 사용한다.
남은 조건으로 a를 결정하는 계산
f(1)=3을 원래 함수에 대입하면
1+p+q=3이다.
앞에서 얻은 식을 넣으면
1+(-2a-2)+(a²+2a)=3
a²-1=3
a²=4가 된다.
그러므로 a=2 또는 a=-2이다. 여기서 마지막 조건 a>0을 적용하면 a=2만 남는다. 이후
p=-2(2)-2=-6, q=2²+2·2=8이다.
계산 중간에 조건 표시가 사라진 오답
관찰된 답안에서는 a²=4까지 정확히 계산한 뒤 곧바로 a=2라고 적었다. 여백에도 여러 조건을 나누어 확인한 표시가 없었다. 이 답은 최종 결과가 우연히 맞더라도 a=-2가 왜 제외되는지 설명하지 못한다. 반대로 a=-2를 선택하면 p=2, q=0이 되어 두 근은 -2, 0이고 f(1)=3도 성립한다. 따라서 a>0은 실제로 필요한 조건이다.
수정할 때는 계산 옆에 다음처럼 짧은 흔적을 남긴다.
- 근의 합·곱 → p, q를 a로 표현
- f(1)=3 → a 결정
- a>0 → 두 값 중 선택
- 원래 근과 함수 조건 재확인
구한 값이 처음 조건으로 돌아가는지 검산하기
a=2, p=-6, q=8을 얻었으므로 함수는
f(x)=x²-6x+8=(x-2)(x-4)이다.
두 근은 2와 4이므로 a, a+2와 일치한다. 또
f(1)=1-6+8=3이고 a=2>0이다. p와 q를 구한 뒤 이 세 조건을 다시 대입해야 중간 계산의 결과가 원래 문제를 모두 만족하는지 확인할 수 있다.
형식이 다른 문항에서 필요한 수량만 고르기
학교자료와 표현이 다른 문제집에서 “x²+px+q의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표 차가 4이고, 두 근 중 작은 값이 양수이며 f(2)=5”라는 문항을 제시할 수 있다. 이때 문장 속 수를 모두 식에 넣는 것이 아니라, 먼저 두 근을 a, a+4로 두고
p=-(2a+4), q=a(a+4)를 만든다. 그다음 f(2)=5를 사용해 a를 정하고, 마지막에 작은 근이 양수라는 조건을 적용한다. 훈련에서는 답지를 보기 전에 이처럼 근의 관계, 함수값 조건, 부호 조건의 순서를 스스로 표시하는지 확인한다.
성수고등학교·무학여자고등학교·도선고등학교 등 성동구의 학교 과제와 별개 형식의 문제를 풀 때도, 정답만 맞히는지보다 조건을 어떤 순서로 식에 반영했는지 답안에 남아 있는지를 살펴야 한다.