성동구 고3수학과외에서 다룬 매개변수 그래프의 실근 판정
성수고등학교, 무학여자고등학교, 도선고등학교, 금호고등학교 등이 있는 성동구에서는 금호동·왕십리·성수동·옥수동 등 생활권에 따라 통학과 과제 시간이 달라질 수 있다. 이 학생은 이동 후 짧은 시간에 재풀이하면서 직전 문제의 숫자를 그대로 옮기는 습관이 있었고, 그래프 문제에서 답보다 조건의 근거를 먼저 적는 연습을 진행했다.
도함수의 영점과 방정식의 근을 구분하기
학생이 먼저 푼 문제는 다음과 같다.
방정식 \(x^3-3x+k=0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 \(k\)의 범위를 구하여라.
학생의 오답은 다음과 같았다.
\(f'(x)=3x^2-3=0\)에서 \(x=\pm1\)이므로 실근은 2개이다.
이 식은 방정식의 실근이 아니라 그래프의 기울기가 0인 후보 위치만 구한 것이므로 틀렸다. 실제로 \(f(x)=x^3-3x+k\)의 그래프가 \(x\)축과 몇 번 만나는지는 극대·극소점의 높이와 \(x\)축의 관계로 판단해야 한다.
후보 위치에서 함수값을 비교하는 과정
먼저
\[ f'(x)=3(x-1)(x+1) \]
이므로 임계점은 \(x=-1,1\)이다. 이때 함수값은
\[ f(-1)=(-1)^3-3(-1)+k=k+2, \] \[ f(1)=1-3+k=k-2 \]
이다. 서로 다른 세 실근을 가지려면 극대값은 양수이고 극소값은 음수여야 하므로
\[ k+2>0,\qquad k-2<0 \]
에서
\[
\boxed{-2
를 얻는다. \(k=2\) 또는 \(k=-2\)에서는 그래프가 \(x\)축에 접하므로 중근이 생기며, 서로 다른 실근 세 개가 아니다. \(k<-2\) 또는 \(k>2\)에서는 \(x\)축과 한 번만 만난다.
틀린 줄을 표시하고 원래 식에 대입하기
재풀이에서는 오답 줄에 밑줄을 긋고, 옆에 “\(f'(x)=0\)은 교점이 아니라 극값 후보”라고 적었다. 그다음 \(x=-1,1\)을 원래 함수에 각각 대입해 \(k+2\), \(k-2\)를 다시 계산했다.
예를 들어 \(k=0\)이면
\[ x^3-3x=x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3) \]
이므로 실제 실근은 \(x=-\sqrt3,0,\sqrt3\) 세 개이다. 도함수의 영점 두 개만 세는 답이 원래 방정식과 맞지 않음을 대입으로 확인할 수 있다.
계수와 구간을 바꾼 독립 검증
같은 숫자를 반복하지 않도록 다음 문제로 조건을 바꾸었다.
\(x^3-6x+k=0\)의 해 중 구간 \([-3,2]\)에 존재하는 실근의 개수를 \(k=6\)일 때 구하여라.
도함수는
\[ g'(x)=3x^2-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt2 \]
이다. 하지만 이번에는 구간의 끝점도 확인해야 한다.
\[ g(-3)=-27+18+6=-3, \] \[ g(-\sqrt2)=6+4\sqrt2>0, \] \[ g(\sqrt2)=6-4\sqrt2>0, \] \[ g(2)=8-12+6=2. \]
\(-3\)에서 함수값은 음수이고 \(-\sqrt2\)에서 양수이므로 그 사이에 한 실근이 있다. 이후 극소값과 오른쪽 끝점이 모두 양수이므로 추가 교점은 없다. 따라서 구간 \([-3,2]\) 안의 실근 개수는
\[ \boxed{1} \]
이다. 학생은 이번에는 도함수의 영점 개수를 답으로 쓰지 않고, 임계점의 함수값과 구간 끝점의 부호를 함께 비교한 뒤 원래 식의 그래프 조건으로 검산했다.