응봉동고2수학과외

응봉동고2수학과외에서 확인한 로그방정식의 한 줄

응봉동현대아파트 생활권에서 학교까지 이동하고 과제와 시험 준비를 이어 가다 보면, 풀이를 빨리 끝내려는 과정에서 조건을 생략하기 쉽다. 응봉동 주소의 고등학교가 확인된다는 뜻은 아니며, 성동구의 무학여자고등학교·성수고등학교·도선고등학교·금호고등학교 등 통학권 참고 학교의 고2 수학 학습을 생각해 볼 수 있는 사례다.

x > 1을 쓰지 않고 얻은 x=9

학생의 풀이에는 다음 식이 있었다.

log₂(x-1)=3

양변을 지수식으로 바꾸면

x-1=2³ 이므로 x=9

라는 계산 자체는 맞다. 그러나 첫 줄에 진수 조건을 남기지 않아, 뒤의 변형문제에서 후보를 원래 로그식에 대입하는 근거가 끊겼다.

바뀐 기호는 진수 조건에 해당하는 x-1>0이다. 이 조건은 계산 결과 x=9를 걸러내지는 않지만, 로그식이 처음부터 정의되려면 반드시 필요한 범위를 표시한다. 밑 2도 0보다 크고 1이 아니므로 사용할 수 있다.

계수와 부호가 바뀌면 검산 줄도 다시 세우기

다음 문제에서는 같은 절차를 기계적으로 복사할 수 없다.

2log₃(x+2)=4

먼저 로그의 계수를 나눈다.

log₃(x+2)=2

따라서 x+2=3²이므로 x=7이다. 이때 조건은

x+2>0, 즉 x>-2

이고, x=7은 조건을 만족한다.

반대로 부호가 바뀐 식을 보자.

-log₂(3-x)=1

학생이 log₂(3-x)=1이라고 옮겼다면, 양변의 부호를 바꾸는 과정이 빠진 것이다. 정확한 식은

log₂(3-x)=-1

이다. 그러므로 3-x=2^-1=1/2, x=5/2가 된다. 마지막에는 진수 조건 3-x>0, 즉 x<3을 확인해야 하며 x=5/2는 허용된다.

빈칸 속에 남겨야 할 검산 근거

풀이의 일부를 비워 둔 문항을 다음처럼 제시한다.

log₅(2x-1)=2

① 진수 조건: 2x-1>0, 따라서 x>1/2

② 2x-1=5²

③ x=13

④ 원래 식에 대입: log₅(2·13-1)=log₅25=2

이 문제에서 빈칸을 채울 때 정답 x=13만 쓰면 충분하지 않다. ①의 조건을 먼저 복원하고, ④에서 진수가 실제로 양수가 되는지 확인해야 한다. 계수가 달라졌으므로 앞 문제의 x>1을 그대로 옮겨 적지 않고, 현재 식의 진수 2x-1에서 새 조건을 만들어야 한다.

표현이 달라진 식에서 스스로 조건 만들기

마지막으로 다음 식을 풀이한다.

log₂(1-2x)=-2

진수 조건은 1-2x>0이므로 x<1/2이다. 또한

1-2x=2^-2=1/4

이므로 2x=3/4, x=3/8이다. x=3/8은 x<1/2를 만족하고, 원래 식에서도 log₂(1/4)=-2가 성립한다.

계수, 부호, 진수의 표현이 바뀌어도 풀이 옆에 진수>0 → 지수식 변환 → 후보 대입의 세 근거를 남기면, 이전 문제의 조건을 복사하지 않고 현재 식에 맞는 검산을 재구성할 수 있다.