응봉동고1수학과외, 상수항의 약수로 정수근 후보 좁히기
응봉동현대아파트 등 응봉동 생활권에서 학교와 과제 시간을 함께 조정해야 하는 고1 학생에게는 긴 풀이보다 첫 판단을 놓치지 않는 습관이 중요하다. 성동구 내 무학여고, 성수고, 도선고, 금호고 등 통학권의 학교 프린트에서 다항방정식을 만났을 때도 정수근을 무작정 대입하기보다 상수항의 약수부터 체계적으로 정리해야 한다.
상수항 12에서 빠뜨리면 안 되는 후보
다음 방정식의 정수근을 구해 보자.
2x3 - 3x2 - 8x + 12 = 0
정수근이 r이라면 최고차항의 계수와 상수항의 관계에 따라 r은 상수항 12의 약수 중 하나여야 한다. 따라서 후보는
r = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
이다. 이 목록은 감으로 고르는 숫자가 아니라 12의 양의 약수와 음의 약수를 모두 적은 것이다.
답을 얻고 바로 멈춘 풀이에서 생긴 빈칸
학생의 풀이에는 후보 목록 없이 다음처럼 한 줄만 적혀 있었다.
x=2를 대입하면 16-12-16+12=0이므로 정수근은 2이다.
계산 자체는 맞지만, 이 식의 정수근이 2 하나뿐이라고 결론 내릴 근거는 부족하다. 실제로 x=-2도 후보이며, 대입하면
2(-2)3-3(-2)2-8(-2)+12
= -16-12+16+12=0
이므로 또 하나의 정수근이다. x=3은 후보가 아니지만 대입하면 3이 되어 근이 아님을 확인할 수 있다. 후보를 먼저 전부 적었더라면 2에서 계산을 끝내지 않았을 것이다.
후보를 적은 뒤 인수분해까지 연결하기
x=2가 근이므로 다항식은 x-2를 인수로 갖는다. 실제로
2x3-3x2-8x+12
= (x-2)(2x2+x-6)
이고, 이차식은 다시
2x2+x-6=(x+2)(2x-3)
으로 분해된다. 따라서 전체 식은
(x-2)(x+2)(2x-3)=0
이므로 해는 x=2, -2, 3/2이다. 이 가운데 정수근은 2와 -2이며, 후보를 찾는 과정과 인수분해 결과가 서로 일치한다.
풀이 첫 줄을 고정해 후보 누락을 막기
새 문제를 풀 때 계산부터 시작하지 않고 식의 상수항을 동그라미로 표시한다. 상수항이 -18이라면 정수근 후보를 ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18로 적은 다음 하나씩 대입한다. 각 후보 옆에는 0인지 아닌지만 표시하고, 0이 나온 값은 인수분해 단계로 넘긴다.
이렇게 하면 학생이 답을 얻은 순간 풀이를 끝내는 대신, 후보 작성 여부와 남은 후보를 눈으로 확인할 수 있다. 후보를 적지 않고 다음 줄로 넘어간 것이 오류가 발생한 정확한 줄이다.
괄호가 달라진 새 식에서 확인한 판단
검증 문제는 다음처럼 괄호 위치가 달라진 형태로 제시한다.
(x-3)(x+1)(2x-5)=0
학생이 먼저 상수항을 전개해 15임을 확인한 뒤, 가능한 정수근 후보를 ±1, ±3, ±5, ±15로 적는지 본다. 이후 괄호를 각각 0으로 만드는 값을 추적하면 x=3, -1은 정수근이고 x=5/2는 정수근이 아님을 구분할 수 있다.
후보를 적지 않고 곧바로 한 괄호만 계산했다면 누락된 줄을 지적하게 한다. 반대로 괄호의 배치가 바뀌어도 상수항에서 후보를 만들고 각 인수를 차례로 확인했다면, 정수근 후보를 체계적으로 찾는 절차가 새로운 식에도 적용된 것으로 판단한다.