응봉동 생활권에서 시작하는 고3 수학 운동 조건 분석
응봉동에서 성동구 내 무학여자고등학교, 성수고등학교, 도선고등학교, 금호고등학교 등을 통학권으로 고려하는 학생은 이동 시간과 과제 부담 속에서도 문제의 첫 조건을 정확히 읽는 연습이 필요하다. 이번에는 이전 문제의 그래프를 기억해 적용하지 않고, 위치식이 바뀌었을 때 속도와 가속도의 관계를 처음부터 다시 세웠다.
위치식이 바뀌면 도함수도 처음부터 다시 구한다
물체의 위치가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
x(t)=t3-9t2+24t, 0≤t≤4
속도는 위치의 변화율이고 가속도는 속도의 변화율이므로
v(t)=x′(t)=3t2-18t+24=3(t-2)(t-4)
a(t)=v′(t)=6t-18
학생은 이전 문제의 속도 그래프가 t=1, 3에서 x축과 만났다는 기억을 그대로 사용해 다음과 같이 적었다.
v(t)=3(t-1)(t-3)
이 식은 현재 위치식의 미분 결과가 아니므로 명백한 오답이다. 실제 속도의 영점은 t=2, 4이며, 가속도가 0이 되는 시점은 t=3이다. 속도가 0인 시점과 가속도가 0인 시점을 같은 것으로 처리해서도 안 된다.
틀린 줄을 표시하고 조건에 다시 대입하기
- 틀린 줄 표시: v(t)=3(t-1)(t-3)
- 변수 관계 확인: 속도는 x(t)를 t에 대해 한 번 미분하고, 가속도는 v(t)를 다시 미분한다.
- 식 수정: v(t)=3t2-18t+24=3(t-2)(t-4)
- 원식 검산: ∫0tv(u)du=x(t)-x(0)
실제로 x(0)=0이고, t=4에서
∫04(3t2-18t+24)dt
=[t3-9t2+24t]04=16
이다. 이는 x(4)-x(0)=16-0=16과 일치한다. 따라서 수정한 속도식은 위치식과도 맞는다.
최적화 대상이 속도인지 속력인지 구분하기
구간 0≤t≤4에서 속도의 최댓값을 구하려면 끝점과 v(t)=0이 되는 점을 비교한다.
- v(0)=24
- v(2)=0
- v(4)=0
따라서 속도의 최댓값은 24이다. 속력을 최댓값으로 묻더라도 이 구간에서는 |v(t)|≤24이므로 최대 속력 역시 24이다. 다만 속도는 방향을 포함한 값이므로 음수가 될 수 있고, 속력은 항상 |v(t)|로 처리해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 위치식과 구간을 바꾸어 확인했다.
y(t)=2t3-15t2+36t, 1≤t≤5
처음부터 미분하면
v(t)=6t2-30t+36=6(t-2)(t-3)
a(t)=12t-30
속도 0인 시점은 t=2, 3이고, 가속도 0인 시점은 t=5/2이다. 후보값을 계산하면
- v(1)=12
- v(2)=0
- v(3)=0
- v(5)=36
따라서 새 구간에서 속도의 최댓값은 36이다. 위치식의 차수와 계수가 바뀌었어도 ‘위치 → 속도 → 가속도’의 순서를 첫 줄부터 유지하고, 최적화 대상과 구간을 따로 확인해야 같은 그래프를 무심코 복사하는 오류를 막을 수 있다.