진수 조건을 쓰지 않고 얻은 답은 아직 해가 아니다
옥수동고2수학과외 학습에서 로그방정식 풀이를 점검하던 중, 학생의 답안에는 다음 한 줄만 남아 있었다.
log₂(x-1)=3
이후 x-1=2³, x=9까지 계산했지만 x-1>0이라는 조건은 적지 않았다. 이 문제에서 계산 결과 자체는 맞지만, 로그가 처음부터 정의되려면 진수에 대한 조건을 먼저 확인해야 한다.
로그의 등식으로 바꾸기 전 확인할 것
log₂(x-1)이 실수로 정의되려면 밑과 진수에 다음 조건이 필요하다.
2>0, 2≠1, x-1>0
따라서 x>1을 풀이 옆에 표시한 뒤 로그의 정의를 적용한다.
log₂(x-1)=3
x-1=2³=8
x=9
마지막에는 원래 진수에 대입하여 9-1=8>0임을 확인한다. 이처럼 진수 조건은 답을 구한 뒤 장식처럼 붙이는 문장이 아니라, 식을 로그방정식으로 변형할 수 있는 범위를 정하는 기준이다.
처음 어긋난 기호 바로 아래에 조건을 되살리기
풀이 중 조건이 빠졌다면 긴 해설을 다시 쓰기보다, 빠진 기호에 표시하고 바로 아래에 올바른 중간식을 적는다.
log₂(x-1)=3
↑ 진수 조건: x-1>0
x-1=2³
이 표시를 통해 학생은 로그식에서 괄호 안의 표현을 먼저 찾고, 그 표현이 0보다 큰지 판단하는 순서를 답안에 남기게 된다. 옥수동의 학교 과제나 지필평가를 준비할 때도 풀이량보다 이 중간식이 빠지지 않았는지를 귀가 후 점검하는 편이 효과적이다.
문자 매개변수로 바꾸어도 진수 조건을 설명할 수 있는가
같은 숫자를 반복하지 않고 다음 식을 제시한다.
log_b(x-a)=c
이 식에서는 먼저
b>0, b≠1, x-a>0
을 적어야 한다. 조건을 만족하는 범위에서 지수형으로 바꾸면
x-a=b^c, 따라서 x=a+b^c이다.
여기서 b>0이므로 b^c>0이고, 구한 값은 실제로 x-a=b^c>0을 만족한다. 반대로 임의의 후보를 먼저 정한 뒤 x-a≤0인 값을 답에 넣는다면 로그식 자체가 정의되지 않으므로 해가 될 수 없다.
마지막 검증에서는 숫자 계산만 보지 않고, 학생이 문자 조건을 스스로 적었는지 확인한다. b=1/2, a=4, c=2일 때도
log_(1/2)(x-4)=2
x-4=(1/2)²=1/4
x=17/4
x-4=1/4>0
처럼 밑이 1과 다른 양수인지, 구한 값의 진수가 양수인지 차례로 확인해야 한다. 새로운 수와 문자 조건에서도 이 순서가 유지될 때 로그방정식의 성립 범위를 제대로 판단한 것으로 볼 수 있다.