옥수동고1수학과외

옥수동고1수학과외: 삼차방정식의 공통인수로 차수 낮추기

옥수동에서 귀가 후 학교 과제를 정리할 때 삼차방정식 풀이가 두 번째 줄부터 복잡해지는 경우가 있다. 이때 먼저 확인할 것은 곧바로 근의 공식이나 전개를 시작하는 것이 아니라, 모든 항에 함께 들어 있는 인수이다.

첫 두 항만 보고 멈춘 풀이

예를 들어 다음 방정식을 풀어 보자.

6x³ - 9x² + 3x = 0

학생은 첫 두 항인 6x³, -9x²만 보고 공통인수를 3x²로 정한 뒤 다음과 같이 적었다.

3x²(2x - 3 + 1) = 0

이 식은 원래 식과 같지 않다. 3x²·1은 3x²이므로 마지막 항 3x가 되지 않기 때문이다. 공통인수는 일부 항이 아니라 모든 항을 대상으로 찾아야 한다.

마지막 항까지 확인하면 차수가 한 단계 내려간다

세 항의 공통인수는 3x이다. 따라서

6x³ - 9x² + 3x = 3x(2x² - 3x + 1)

이제 삼차식이 일차식과 이차식의 곱으로 바뀐다.

3x(2x² - 3x + 1) = 3x(2x - 1)(x - 1) = 0

곱이 0이므로 각 인수를 0으로 놓으면 x = 0, x = 1/2, x = 1을 얻는다. 공통인수를 먼저 묶는 과정은 식을 보기 좋게 만드는 절차가 아니라, 삼차방정식을 낮은 차수의 방정식으로 바꾸는 핵심 판단이다.

풀이 줄 사이에 근거를 남기는 훈련

이 유형을 풀 때 학생에게 바로 계산하지 말고 “세 항에 모두 들어 있는 인수는 3x이므로 차수를 낮추기 위해 묶는다”라고 말하게 했다. 이어서 각 항을 실제로 나누어 확인한다.

• 6x³ ÷ 3x = 2x²
• -9x² ÷ 3x = -3x
• 3x ÷ 3x = 1

따라서 괄호 안은 2x² - 3x + 1이며, 다시 곱했을 때 세 항이 원래 식으로 돌아오는지도 확인한다. 이 과정을 생략하지 않아야 첫 두 항만 보고 공통인수를 정하는 오류를 구분할 수 있다.

현재 상태를 판단하는 기준

여러 방정식에서 공통인수를 묶는 줄이 빠진 채 곧바로 다음 계산으로 넘어갔다면, 단순 계산 실수라기보다 풀이 표현과 개념 적용이 연결되지 않은 상태로 볼 수 있다. 답이 우연히 맞았는지보다, 왜 3x를 선택했는지와 모든 항을 나누어 확인했는지를 답안에서 확인해야 한다.

성동구의 무학여자고등학교, 성수고등학교, 도선고등학교, 금호고등학교는 참고 학교이며 옥수동 소재 학교로 단정할 수 없다. 옥수동 내에서는 서울방송고등학교의 과제와 귀가 시각을 기준으로 짧은 학습 시간에도 ‘공통인수 확인→괄호 안 계산→역전개’의 순서를 답안에 남기는 연습이 적절하다.

숫자를 바꾼 문제와 문장제 확인

다음 문제에서는 계수를 바꾸어 같은 판단을 확인한다.

8x³ + 4x² - 12x = 0

세 항의 공통인수는 4x이므로

4x(2x² + x - 3) = 4x(2x+3)(x-1)=0

따라서 해는 x = 0, -3/2, 1이다. 이때 학생이 첫 두 항의 공통인수인 4x²를 그대로 사용하지 않고, 마지막 항 -12x까지 나누어지는지 먼저 말하는지 확인한다.

문장제에서는 불필요한 정보를 제외하는지도 함께 본다. 예를 들어 어떤 수의 변화량이 8x³ + 4x² - 12x = 0으로 주어지고, 조사에 걸린 시간이 25분이라는 정보가 덧붙어 있다면 방정식을 푸는 데 필요한 것은 식의 세 항뿐이다. 학생이 시간 정보를 계산에 끌어들이지 않고, 모든 항의 공통인수 4x를 찾아 차수를 낮추는지로 적용 여부를 판단한다.