성수동고2수학과외

성수동고2수학과외, 연립 지수부등식에서 교집합을 놓치지 않기

성수고등학교와 경일고등학교가 있는 성수동 생활권에서는 통학과 과제 시간이 함께 늘면서, 한 문제를 길게 붙잡기보다 풀이의 각 조건을 짧게 정리하는 습관이 중요하다. 특히 지수부등식의 연립조건은 각각의 해를 구한 뒤 마지막에 공통 범위를 찾아야 한다.

x>1과 x<3을 합치는 방식

다음 연립부등식을 살펴보자.

x>1,　2^x<8

밑 2는 1보다 크므로 지수함수는 증가한다. 따라서

2^x<2³에서 x<3이다.

첫 번째 조건은 x>1, 두 번째 조건은 x<3이므로 두 조건을 동시에 만족해야 한다. 해는 두 구간의 겹치는 부분인

1<x<3

이다.

풀이에서 x>1과 x<3을 얻은 뒤 x<1 또는 x>3처럼 합집합으로 적는다면, 이는 연립조건의 의미와 반대다. x=0은 x<3을 만족하지만 x>1을 만족하지 않으므로 해가 될 수 없다. 반대로 x=4는 x>1을 만족하지만 2⁴<8을 만족하지 않는다.

두 조건을 각각 푼 뒤 수직선에서 겹치는 구간 표시하기

해를 구한 직후 식만 이어 쓰지 말고 수직선에 두 조건을 따로 표시한다.

• x>1: 1에서 열린 점, 오른쪽 방향
• x<3: 3에서 열린 점, 왼쪽 방향

두 표시가 동시에 겹치는 구간은 1과 3 사이뿐이다. 따라서 최종 답을 (1, 3)으로 적는다. 연립부등식에서 ‘그리고’는 교집합, ‘또는’은 합집합이라는 연결을 답안에 명시하면 조건을 빠뜨렸는지 바로 확인할 수 있다.

규칙을 거꾸로 적용해 원래 조건 복원하기

수정 훈련에서는 답만 확인하지 않고, 얻은 경계값을 원래 지수식으로 되돌린다.

x<3　→　2^x<2³　→　2^x<8

또한 최종 구간 1<x<3에서 임의의 값 x=2를 대입하면 x>1과 2^x<8이 모두 참이다. 반면 구간 밖의 x=0을 대입하면 첫 조건이 거짓이므로 제외된다. 이렇게 각 조건을 역으로 복원하고 구간 안팎의 값을 대입하면 합집합으로 잘못 넓힌 답을 걸러낼 수 있다.

계수가 바뀐 문제에서도 공통 범위를 먼저 찾기

다음 문제에서는 표현과 경계를 바꾸어 확인한다.

3^x≥27,　x<4

밑 3은 1보다 크므로 3^x≥3³에서 x≥3이다. 두 조건을 동시에 만족하는 범위는

3≤x<4

이다. x=2는 지수부등식을 만족하지 않고, x=4는 두 번째 조건에서 제외된다. 따라서 각각의 해를 구한 뒤 ‘모두 만족하는가’를 확인하고, 끝점의 포함 여부까지 표시해야 한다.