성수동고1수학과외: 정의역 끝점과 꼭짓점으로 함수의 최댓값·최솟값 찾기
성수고등학교와 경일고등학교처럼 성수동에서 통학하는 고1 학생은 이동과 과제 시간이 겹치는 날, 이차함수의 최댓값·최솟값 문제에서 계산을 줄이려는 모습을 보이기도 한다. 그러나 정의역이 제한된 함수에서는 꼭짓점 하나만 보는 방식으로 답을 정할 수 없다.
꼭짓점만 보고 고른 최댓값
학교 프린트에 다음 문제가 나왔다.
함수 f(x)=-(x-2)2+7의 정의역이 0≤x≤5일 때, 최댓값과 최솟값을 구하여라.
이 함수의 그래프는 아래로 열린 포물선이고 꼭짓점은 (2, 7)이다. 학생은 꼭짓점의 함수값 7만 적고 최댓값은 7, 최솟값은 없다고 답했다. 풀이 옆에는 정의역의 양 끝인 0과 5를 대입한 흔적이 없었으며, 오답표에도 ‘계수·정의역·조건이 바뀐 새 함수에서 최댓값·최솟값 판단’이라는 확인 항목이 빠져 있었다.
제한된 구간에서는 후보를 함께 만든다
꼭짓점의 x좌표 2는 정의역 [0, 5] 안에 있으므로 꼭짓점값 7은 최댓값 후보가 된다. 하지만 최솟값은 양 끝점 중 더 작은 함수값에서 나올 수 있다.
- f(0)=-(0-2)2+7=3
- f(2)=7
- f(5)=-(5-2)2+7=-2
따라서 후보를 표로 모으면 다음과 같다.
- x=0일 때 f(x)=3
- x=2일 때 f(x)=7
- x=5일 때 f(x)=-2
가장 큰 값은 7이므로 최댓값은 7, 가장 작은 값은 -2이므로 최솟값은 -2이다. 꼭짓점이 정의역 밖에 있다면 꼭짓점값은 후보에 넣지 않고 두 끝점만 비교해야 한다.
계수와 정의역이 달라져도 같은 판단 순서 유지하기
성수두산위브아파트 등 생활권에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 문제를 풀더라도, 식의 계수나 구간이 바뀌면 먼저 후보를 표시해야 한다. 예를 들어
g(x)=2(x+1)2-5, -3≤x≤1
에서는 꼭짓점의 x좌표가 -1이고, 위로 열린 포물선이므로 꼭짓점값 -5가 최솟값 후보이다. 끝점도 계산하면
- g(-3)=2(-2)2-5=3
- g(-1)=-5
- g(1)=2(2)2-5=3
최솟값은 -5, 최댓값은 3이다. 이처럼 계수의 부호가 바뀌면 위아래 방향이 달라지고, 정의역이 바뀌면 비교해야 할 끝점도 달라진다.
표를 먼저 만드는 훈련
훈련할 때는 답을 바로 쓰지 않고 x 후보와 함수값을 두 칸으로 적는다. 꼭짓점의 x좌표가 정의역에 포함되는지 확인한 뒤, 포함될 때만 꼭짓점을 표에 넣는다. 그 다음 양 끝점을 계산하여 값들을 비교한다. 학생이 새로운 문제에서 이 표를 먼저 만들고 가장 큰 값과 작은 값을 구분하면, ‘꼭짓점만 확인한 오류’와 ‘끝점 계산 누락’을 각각 개념·조건·계산·표현 중 어디에서 고쳤는지도 기록할 수 있다.
같은 문제 대신 조건이 바뀐 문제로 점검하기
마무리 확인에는 앞의 식을 반복하지 않고 중2 선행 맛보기 문제로 다음 식을 제시한다.
h(x)=-(x-4)2+6의 정의역이 1≤x≤3일 때 최댓값과 최솟값을 구하여라.
꼭짓점의 x좌표 4는 정의역 밖에 있으므로 꼭짓점값 6을 사용할 수 없다. 양 끝점만 비교하면
- h(1)=-(1-4)2+6=-3
- h(3)=-(3-4)2+6=5
최댓값은 5, 최솟값은 -3이다. 시간이 부족한 상황에서도 학생이 문제를 보류해야 할 때는 후보인 끝점과 꼭짓점의 위치를 표시하고, 다른 문항을 처리한 뒤 표시한 지점으로 복귀한다. 새 문제에서 표 작성, 정의역 포함 여부 확인, 값 비교를 스스로 수행하는지를 기준으로 판단한다.