성수동 고3수학과외, 그래프의 임계점이 바뀔 때 부등식 증명 다시 세우기
성수고등학교와 경일고등학교가 있는 성수동 생활권에서는 중학교 때보다 통학과 과제, 시험 준비가 함께 늘어나는 시기에 풀이 절차를 스스로 세우는 연습이 중요하다. 이번 학생은 도움 없이 첫 판단을 시작할 때 직전 문제의 부호와 최솟값을 그대로 가져오는 습관이 있었다.
이전 문제의 최솟값을 그대로 사용한 오답
먼저 다음 부등식을 풀었다.
x2 - 6x + 5 ≥ -4
완전제곱으로 정리하면
x2 - 6x + 5 = (x - 3)2 - 4
이므로 최솟값은 -4이고, 모든 실수에서 부등식이 성립한다.
그 다음 상수항을 바꾼 변형 문제를 제시했다.
x2 - 6x + 1 ≥ -4
학생은 앞 문제의 “최솟값이 -4이므로 모든 실수”라는 결론을 그대로 적었다.
학생의 오답: x2 - 6x + 1의 최솟값을 이전 식과 같은 -4로 판단하여 해를 x∈R이라고 씀.
이 식의 정확한 정리는
x2 - 6x + 1 = (x - 3)2 - 8
이므로 최솟값은 -8이다. 따라서 -4 이상인 구간만 찾아야 하며, “모든 실수”라는 결론은 틀렸다.
틀린 줄부터 조건을 다시 확인한 수정 과정
- 틀린 줄 표시: “최솟값 = -4, 해는 모든 실수”에 밑줄을 긋는다.
- 변수 관계 확인: 상수항이 5에서 1로 바뀌었으므로 그래프의 꼭짓점 높이도 달라진다. x좌표는 3으로 같지만 최솟값은 같지 않다.
- 식 수정: x2 - 6x + 1 ≥ -4를 한쪽으로 모아 x2 - 6x + 5 ≥ 0으로 고친다.
- 인수분해: (x - 1)(x - 5) ≥ 0.
- 부호와 끝점 확인: 위로 열린 포물선이므로 x≤1 또는 x≥5이다. 등호가 포함되므로 1과 5는 제외값이 아니라 포함되는 경계값이다.
따라서 정확한 해는 (-∞, 1] ∪ [5, ∞)이다. x=3을 대입하면 원래 식의 좌변은 -8이 되어 -4 이상이 아니므로, 학생의 “모든 실수” 판단도 즉시 반박된다.
끝점 조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 외우지 않았는지 확인하기 위해 계수와 상수항을 바꿨다.
2x2 - 8x - 3 > 5
먼저 정리하면
2x2 - 8x - 8 > 0
2(x2 - 4x - 4) > 0
이므로 근은
x = 2 ± 2√2
이다. 위로 열린 포물선이고 부등호가 엄격하므로 두 근은 포함하지 않는다.
최종 해는 x < 2 - 2√2 또는 x > 2 + 2√2이다. 학생은 먼저 꼭짓점과 부등호 방향을 새로 확인한 뒤, 두 경계값을 원래 식에 대입해 좌변이 각각 5가 됨을 확인했다. 등호가 성립하므로 원래의 “> 5”에서는 두 끝점을 제외해야 한다.