사근동고2수학과외, 같은 밑의 로그방정식을 끝까지 검산하는 풀이
사근동벽산아파트 생활권에서 학교 과제와 시험 준비를 함께 관리할 때는 풀이를 얼마나 빨리 시작했는지보다, 식의 조건을 확인하고 답을 확정했는지를 살펴야 한다. 사근동 소재 고등학교로 확인되는 한양대학교사범대학부속고등학교와 성동구 내 참고 학교의 문제를 구분하더라도, 로그방정식에서는 공통적으로 ‘같은 밑’이라는 근거와 진수 조건이 답안에 남아 있어야 한다.
진수만 같게 놓은 순간 빠진 판단
변형 문항으로 다음 식을 제시했다.
log2(x-1) = log2(5-x)
풀이 과정에서 학생은 밑을 확인하는 문장 없이 곧바로
x-1 = 5-x
라고 적고 x=3을 구했다. 이 계산 자체는 맞다. 두 로그의 밑이 모두 2이므로 로그함수가 일대일이어야 한다는 근거 아래 진수를 비교할 수 있기 때문이다. 다만 로그식에서는 밑이 0보다 크고 1이 아니어야 하며, 진수도 양수여야 한다. 이 문제에서는
x-1>0, 5-x>0
이므로 1<x<5이다. x=3은 이 범위에 들어가므로 최종 답은 3이다. 밑과 진수 조건을 생략한 채 직전 예제의 순서만 복사한 것은 답이 우연히 맞은 것과 풀이 근거가 완성된 것을 구별하지 못한 장면이다.
비교하기 전에 두 로그의 구조를 표시하기
이 유형에서는 풀이를 처음부터 다시 베껴 쓰게 하지 않고, 오류가 시작된 줄에서 멈춘 뒤 다음 세 가지를 바로 적는다.
- 밑 확인: 2=2, 2>0, 2≠1
- 진수 조건: x-1>0, 5-x>0
- 같은 밑의 일대일성 적용: x-1=5-x
따라서
2x=6 → x=3
이고, 1<3<5를 확인한 뒤 답을 확정한다. 이 순서를 답안에 남기면 ‘진수 비교’가 단순한 암기 절차가 아니라, 같은 밑의 로그함수와 정의역 조건을 함께 사용하는 판단임을 확인할 수 있다.
밑이 달라지면 진수 비교를 멈춰야 한다
반대로
log2(x-1)=log3(5-x)
에서는 밑이 다르므로 x-1=5-x라고 놓을 수 없다. 같은 밑의 진수 비교는 두 로그의 밑이 동일할 때만 사용할 수 있다. 이 차이를 설명하지 못하고 식의 모양만 보고 진수를 비교한다면 새로운 계수나 부호가 등장할 때 다시 같은 오류가 발생한다.
나란히 놓지 않은 새 문항에서 확인한 풀이
이전 식을 옆에 두지 않고 다음 문항만 제시했다.
log3(2x-1)=log3(7-x)
여기서 먼저 밑이 양쪽 모두 3이고, 3>0, 3≠1임을 확인한다. 이어 진수 조건을 적으면
2x-1>0, 7-x>0
이므로 1/2<x<7이다. 이제서야 진수를 비교한다.
2x-1=7-x → 3x=8 → x=8/3
1/2<8/3<7이므로 허용되는 해는 x=8/3이다. 계수와 상수가 달라진 식에서도 밑 확인, 진수 조건, 진수 비교, 해 검산의 근거가 스스로 이어졌는지를 답안의 줄별로 확인한다.
귀가 뒤 과제가 많은 날에는 문제를 여러 개 늘리기보다, 한 문항의 비교가 허용되는 이유와 구한 해가 정의역에 들어가는지를 말과 식으로 남기는 방식이 효과적이다. 같은 밑이라는 조건을 확인하지 않고 직전 절차를 반복하는지, 새로운 로그방정식에서도 조건부터 세우는지가 현재 풀이의 안정성을 보여준다.