사근동 고3수학과외: 조건이 바뀌면 위치함수의 기준부터 다시 확인하기
사근동에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 진행하던 한 고3 학생은 위치함수 문제에서 계산 자체는 빠른 편이었다. 그러나 운동 시간 구간과 최적화 대상이 바뀌었는데도 이전 문제의 숫자를 그대로 옮겨 적어, 평균변화율과 순간변화율을 혼동했다.
위치함수에서 후보 시각을 찾는 과정
위치가 x(t)=t³-9t²+24t+1이고 운동 구간이 0≤t≤6일 때, 속도는 위치함수의 도함수이므로
x′(t)=3t²-18t+24=3(t-2)(t-4)
이다. 순간변화율이 0인 시각은
3(t-2)(t-4)=0 → t=2, 4
로 두 개다. 하지만 이 두 시각만 비교하면 구간 전체의 최댓값과 최솟값을 놓칠 수 있다. 닫힌 구간에서 위치의 최댓값과 최솟값을 구하려면 내부 임계점과 양 끝점 t=0, 2, 4, 6을 모두 대입해야 한다.
- x(0)=1
- x(2)=8-36+48+1=21
- x(4)=64-144+96+1=17
- x(6)=216-324+144+1=37
따라서 구간 전체에서 최솟값은 1, 최댓값은 37이다. t=2와 t=4는 순간변화율이 0인 후보일 뿐, 최댓값과 최솟값으로 자동 결정되지 않는다.
학생이 이전 숫자를 복사한 오답
오답: 새 운동 구간이 1≤t≤5로 바뀌었는데도 평균변화율을 [x(5)-x(1)]/4로 쓰고, 순간변화율도 같은 분모를 사용하여 {x(5)-x(1)}/4라고 계산했다.
이 식은 순간변화율의 정의에 맞지 않는 오답이다. 평균변화율의 분모는 두 시각의 차이인 5-1=4이지만, 순간변화율은 한 시각에서의 도함수 x′(t)로 구한다. 또한 새 문제의 구간이 1≤t≤5로 바뀌었다면 양 끝점도 t=1과 t=5로 다시 확인해야 한다.
두 줄 비교로 조건을 교정하기
학생은 풀이 옆에 다음처럼 원식과 변형식을 나란히 적었다.
- 원래 확인할 식: 평균변화율 [x(b)-x(a)]/(b-a), 순간변화율 x′(t)
- 새 조건: a=1, b=5, 구간 1≤t≤5, 최적화 대상은 위치의 최댓값과 최솟값
따라서 평균변화율은
[x(5)-x(1)]/(5-1)=[26-17]/4=9/4
이다. 반면 순간변화율은 분모를 두지 않고
x′(t)=3(t-2)(t-4)
로 계산한다. 새 구간 안의 임계점은 t=2, 4이며, 경계값까지 대입하면
- x(1)=17
- x(2)=21
- x(4)=17
- x(5)=26
이므로 최솟값은 17, 최댓값은 26이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 시간 구간의 양 끝을 먼저 적고, 도함수와 평균변화율의 분모를 분리해 다시 계산했다.
숫자를 바꾼 독립 검증
같은 절차를 새로운 함수와 구간에 적용했다. 이번에는
y(t)=2t³-15t²+36t+4, 1≤t≤5
에서 위치의 최댓값과 최솟값을 구하도록 했다.
y′(t)=6t²-30t+36=6(t-2)(t-3)
이므로 후보 시각은 t=2, 3이다. 경계값과 함께 계산하면
- y(1)=27
- y(2)=26
- y(3)=31
- y(5)=29
따라서 최솟값은 26, 최댓값은 31이다. 학생은 새 문제에서 분모를 억지로 넣지 않고, y′(t)=0인 내부 후보와 구간의 양 끝점을 모두 대입해 첫 판단부터 다시 검증했다.