사근동고1수학과외

사근동고1수학과외: 반복되는 제곱식을 찾아 고차방정식 바꾸기

사근동에서 학교 과제와 시험 준비를 함께 살필 때는 답만 맞혔는지보다 식의 구조를 읽고 풀이 근거를 남겼는지가 중요하다. 특히 고차방정식에서는 여러 항에 반복되는 식을 새로운 문자로 치환하면 계산을 낮은 차수의 방정식으로 바꿀 수 있다.

계산보다 먼저 찾아야 할 반복식

다음 방정식을 보자.

(x²−3x)²−5(x²−3x)+6=0

여기서 반복되는 식은 x²−3x이다. 이 식 전체가 한 번은 제곱되어 있고, 한 번은 일차식으로 나타난다. 따라서 t=x²−3x라고 두면 원래 식은

t²−5t+6=0

이 되고, 인수분해하면 (t−2)(t−3)=0이다. 그러므로 t=2 또는 t=3으로 나누어 생각해야 한다.

결과식만 남은 답안에서 빠진 판단

실제 답안에는 x⁴−6x³+4x²+15x+6=0처럼 전개한 결과만 적혀 있었다. 이 식은 전개 자체도 정확하지 않다. 실제로 첫 항을 전개하면

(x²−3x)²=x⁴−6x³+9x²

이고, 전체를 전개하면 x⁴−6x³+4x²+15x+6이 맞다. 그러나 답안에는 반복식이 무엇인지, 왜 치환할 수 있는지에 대한 흔적이 없었다. 결과식만 남기면 계산 중 부호나 계수가 틀려도 오류가 시작된 지점을 추적하기 어렵다.

치환 뒤에는 원래 문자로 돌아온다

t=2일 때는

x²−3x=2
x²−3x−2=0
(x−1)(x−2)=0

이므로 x=1, 2이다.

t=3일 때는

x²−3x=3
x²−3x−3=0

이차방정식의 근의 공식에 따라 x=(3±√21)/2를 얻는다. 따라서 원래 방정식의 해는 1, 2, (3+√21)/2, (3−√21)/2이다.

풀이를 시작할 때 “반복되는 식은 x²−3x이고, 이를 t로 두면 t에 대한 이차방정식이 된다”라고 먼저 적게 하면 구조를 찾았다는 판단이 답안에 남는다. 그 뒤 t=2, 3을 각각 원래 식으로 되돌려야 네 개의 해를 빠뜨리지 않는다.

중간식을 보존하며 오류 지점 찾기

귀가 후 짧은 시간에 과제를 점검할 때도 전개 결과만 베껴 쓰지 않고 다음 순서를 유지한다.

• 반복되는 식을 괄호로 묶어 표시한다.
• 그 식을 t로 치환한 식을 한 줄 적는다.
• t의 값을 구한 뒤 각각의 이차방정식을 따로 만든다.
• 마지막에 얻은 값을 치환식과 원래 방정식에 대입해 확인한다.

예를 들어 (x²−3x)=t를 적지 않고 곧바로 전개했다면, 이후 계산이 맞더라도 구조 확인은 하지 않은 것이다. 중간식이 남아 있으면 어느 줄에서 치환을 생략했는지, 어느 줄에서 부호를 바꾸었는지를 스스로 표시할 수 있다.

표현이 달라진 학교 프린트로 확인하기

다음과 같이 순서가 바뀐 문제를 제시한다.

(2x−x²)²+7(2x−x²)+10=0

학생이 먼저 u=2x−x²라고 설명한다면, 표현이 달라져도 같은 식의 반복 구조를 찾은 것이다. 이후

u²+7u+10=0
(u+5)(u+2)=0

에서 u=−5 또는 u=−2를 얻는다.

u=−5이면 2x−x²=−5, 즉 x²−2x−5=0이므로 x=1±√6이다. u=−2이면 x²−2x−2=0이므로 x=1±√3이다.

이때 중간 치환식과 두 갈래의 이차방정식을 유지하게 한다. 정답만 맞히는지보다 반복 구조를 말로 확인하고, 계산이 어긋났을 때 오류가 시작된 줄을 표시해 수정하는지를 살핀다.