성남 고2수학과외, 등차중항 오답을 계산 줄에서 바로잡기
“중간항은 양끝 항을 더한 뒤 2로 나누는 것 아닌가요?”라고 말하면서도, 답안에는 전혀 다른 계산이 남아 있는 경우가 있다. 성남여고, 태원고, 분당고 등 학교별 내신 일정과 주간 학습량은 다르지만, 등차수열 문제에서는 정답보다 등차 조건을 어떤 줄에서 사용했는지가 풀이의 안정성을 결정한다.
3, x, 11에서 먼저 찾아야 할 조건
세 수 3, x, 11이 이 순서로 등차수열을 이룬다면 인접한 항의 차이가 같아야 한다.
x-3=11-x
이를 정리하면
2x=14, 따라서 x=7이다.
또한 등차중항 공식으로도 확인할 수 있다.
x=\frac{3+11}{2}=7
산술평균 대신 뺄셈을 넣은 한 줄
이 문제에서 남겨진 오답은 다음과 같았다.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
| x=(3-11)/2=-4 | x=(3+11)/2=7 |
두 끝항의 차를 구하는 상황과 중간항을 구하는 상황이 섞인 것이다. 등차중항은 양끝 항의 산술평균이므로 뺄셈이 아니라 덧셈을 사용해야 한다. 특히 오답 발생 줄을 건너뛰고 공식부터 적용하면, 왜 -4가 나왔는지 스스로 추적하기 어렵다.
수정한 뒤에는 역계산을 남긴다.
x-3=7-3=4, 11-x=11-7=4
양쪽 차가 모두 4이므로 3, 7, 11은 실제로 등차수열이다. 반대로 잘못 얻은 x=-4를 대입하면 -4-3=-7, 11-(-4)=15가 되어 두 차가 같지 않다.
기호 하나를 표시하며 풀이 순서 고정하기
비슷한 문제를 풀 때는 다음 세 줄을 답안에 남긴다.
- 등차 조건: 뒤 항-앞 항=일정
- 중간항 계산: x=(첫째 항+셋째 항)/2
- 역계산: x-첫째 항=셋째 항-x
이 순서를 적용하면 단순히 공식을 기억하는 데서 그치지 않고, 덧셈 기호가 필요한 줄과 차이를 비교하는 줄을 구분할 수 있다.
끝항을 바꾼 검증 문제
새 조건으로 5, x, 17이 등차수열을 이룰 때 x를 구해 보자.
x=\frac{5+17}{2}=11
역계산까지 하면
x-5=11-5=6, 17-x=17-11=6
이번에는 처음부터 등차중항의 산술평균을 선택하고, 얻은 값을 원래의 두 차에 다시 대입했는지 확인해야 한다. 양끝 항이 달라져도 같은 판단을 유지할 때 등차중항 계산이 실제 문제에 적용된 것이다.