성남고1수학과외, 두 원의 중심거리와 반지름으로 위치관계 읽기
성남여자고등학교, 태원고등학교, 분당고등학교처럼 학교별 주간 일정과 프린트 진도가 다른 환경에서는 원의 방정식 문제를 계산 순서까지 스스로 세우는 연습이 필요하다. 특히 두 원의 위치관계는 그림의 모양보다 중심 사이의 거리와 두 반지름의 크기를 비교해야 정확히 판단할 수 있다.
답안에서 빠진 한 줄이 판단을 흔든 장면
다음 두 원을 보자.
C₁: (x-1)²+(y+2)²=9
C₂: (x-5)²+(y+2)²=1
첫 번째 원의 중심과 반지름은 각각 O₁=(1,-2), r₁=3이고, 두 번째 원은 O₂=(5,-2), r₂=1이다. 그런데 학생의 답안에는 중심과 반지름을 적는 단계 없이 곧바로 “두 원은 만난다”라고만 쓰여 있었다. 이후 중심거리 계산도 생략되어 위치관계의 근거가 남지 않았다.
이 문제에서 중심거리는
d=√{(5-1)²+(-2+2)²}=√16=4
이고, 두 반지름의 합은 r₁+r₂=4이다. 따라서 d=r₁+r₂이므로 두 원은 외접한다. 단순히 “만난다”가 아니라 한 점에서 접한다는 결론까지 써야 한다.
그림보다 먼저 비교해야 할 세 값
두 원의 위치관계는 중심거리 d, 반지름의 합 r₁+r₂, 반지름의 차의 절댓값 |r₁-r₂|로 정리할 수 있다.
- d>r₁+r₂: 서로 만나지 않고 외부에 떨어져 있다.
- d=r₁+r₂: 외접한다.
- |r₁-r₂|<d<r₁+r₂: 두 점에서 만난다.
- d=|r₁-r₂|: 내접한다.
- d<|r₁-r₂|: 한 원이 다른 원의 내부에 있으며 만나지 않는다.
따라서 식을 읽을 때는 (x-a)²+(y-b)²=r²에서 중심을 (a,b), 반지름을 r로 먼저 분리해야 한다. 특히 (y+2)²의 중심 좌표는 2가 아니라 -2이다.
풀이의 첫 줄을 고정해 계산 순서를 바꾸기
연습에서는 계산을 시작하기 전에 다음처럼 표기하게 한다.
O₁=(1,-2), r₁=3 / O₂=(5,-2), r₂=1
그 다음에만 중심거리를 계산하고, 마지막으로 세 값을 비교한다. 이 방식은 그림을 보자마자 “겹쳐 보인다”라고 판단하는 행동을 막아 준다. 현재 상태는 공식을 전혀 모르는 것이 아니라, 중심·반지름 추출과 비교 절차가 자동으로 이어지지 않는 단계로 볼 수 있다.
성남역이나 남위례역 주변에서 이동한 뒤 짧은 시간에 학교 프린트를 정리해야 하는 날에는 긴 풀이보다 이 첫 줄을 빠뜨리지 않는지가 중요하다. 답을 빨리 계산하는 습관보다 판단 근거를 먼저 남기는 습관을 확인한다.
새 수치로 절차가 실제로 작동하는지 확인
다음 문항에서는 수치를 바꾼다.
(x+2)²+(y-3)²=16
(x-4)²+(y-3)²=4
학생이 먼저 O₁=(-2,3), r₁=4, O₂=(4,3), r₂=2를 적는지 본다. 중심거리는
d=√{(4+2)²+(3-3)²}=6
이고, r₁+r₂=6이므로 두 원은 외접한다. 이전 문제의 답을 기억해 쓰는 것이 아니라, 새로운 중심과 반지름을 추출한 뒤 d=r₁+r₂를 다시 적용해야 한다.
회전된 그림에서도 성질을 찾아내는지
그림의 방향을 바꾸어 두 원이 비스듬히 배치된 문항을 제시할 수 있다. 이때 바로 위치관계를 알려 주지 않고 정해 둔 문항 체류시간 동안 판단을 보류하게 한다. 해결 가능한 뒤의 문제로 이동했다가 다시 돌아온 뒤에도 중심 좌표, 반지름, 중심거리의 순서를 유지하는지 기록한다.
예를 들어 중심이 A=(2,1), B=(-1,5)이고 반지름이 각각 5, 1인 경우
AB=√{(2+1)²+(1-5)²}=5, |5-1|=4, 5+1=6
이므로 4<5<6이다. 그림이 회전되어 있어도 두 원은 두 점에서 만난다. 답을 즉시 받지 않고도 같은 성질을 찾아내며, 막힌 문제에 오래 매달리지 않고 이후 문항으로 이동하는지도 함께 확인한다.