성남 고3 수학과외, 정규분포표에서 조건이 바뀐 첫 지점 찾기
성남여자고등학교, 태원고등학교, 분당대진고등학교 등 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간은 서로 다를 수 있다. 이 학생은 채점 후 정규분포표 문제를 다시 풀 때, 틀린 조건만 확인하지 않고 풀이 전체를 처음부터 다시 쓰는 습관이 있었다. 특히 표의 행과 열을 읽는 순간 어디서 계산이 달라졌는지 찾는 연습이 필요했다.
표를 읽기 전 표준화 식부터 고정하기
확률변수 \(X\)가 평균 \(70\), 표준편차 \(8\)인 정규분포를 따를 때 \(P(62\le X\le82)\)를 구한다고 하자.
먼저 표준화하면
\[ Z=\frac{X-70}{8} \]
이므로
\[ P(62\le X\le82) =P\left(\frac{62-70}{8}\le Z\le\frac{82-70}{8}\right) =P(-1\le Z\le1.5) \]
대칭성을 이용하면
\[ P(-1\le Z\le1.5) =P(-1\le Z\le0)+P(0\le Z\le1.5) \]
정규분포표가 \(P(0\le Z\le z)\)를 나타내는 표라면 \(z=1.00\)에서는 \(0.3413\), \(z=1.50\)에서는 \(0.4332\)를 읽어
\[ P(-1\le Z\le1.5)=0.3413+0.4332=0.7745 \]
가 된다. 표의 종류가 \(P(Z\le z)\)인지 \(P(0\le Z\le z)\)인지 먼저 확인하지 않으면 같은 숫자를 읽고도 전혀 다른 확률을 계산하게 된다.
행과 열을 바꿔 읽은 오답
학생의 오답:
\[ P(-1\le Z\le1.5)=0.4332-0.3413=0.0919 \]
이 식은 틀린 식이다. \(0.3413\)과 \(0.4332\)는 각각 \(0\)부터 \(1.00\), \(0\)부터 \(1.50\)까지의 면적이므로, 큰 구간에서 작은 구간을 빼면 \(1.00\le Z\le1.50\)의 확률만 남는다. 원래 구간은 음수 부분 \(-1\le Z\le0\)까지 포함하므로 두 면적을 더해야 한다.
또한 \(0.0919\)는 \(1.00\le Z\le1.50\)의 확률로서 원래 구간의 확률보다 작다. 구간이 넓어졌는데 확률이 지나치게 작아진다는 점도 검산 단서가 된다.
오류 줄만 표시하고 조건을 다시 연결하기
- 오류 표시: \(0.4332-0.3413\)에서 두 표의 값을 뺀 줄에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: 표의 값이 모두 \(0\)에서 양의 \(z\)까지의 면적이며, 목표 구간이 \(0\)을 기준으로 양쪽에 걸쳐 있음을 적는다.
- 식 수정: \[ P(-1\le Z\le1.5)=P(-1\le Z\le0)+P(0\le Z\le1.5) \] \[ =0.3413+0.4332=0.7745 \]
- 검산: 표준정규분포에서 \(-1\)과 \(1.5\) 사이의 구간은 전체의 절반 이상이어야 하므로 \(0.7745\)가 \(0.0919\)보다 조건에 맞는다.
이제 학생은 풀이를 무작정 다시 쓰기보다 중간식 옆에 “표의 값은 \(0\)부터의 면적”, “구간이 음수와 양수에 걸침”이라고 규칙을 적는다. 그다음 표에서 행은 일의 자리와 소수 첫째 자리, 열은 소수 둘째 자리라는 기준을 확인한다. 예를 들어 \(z=1.46\)은 행 \(1.4\), 열 \(0.06\)에서 읽어야 하며, 행 \(1.0\), 열 \(0.46\)로 읽으면 안 된다.
새 구간에서 절차를 유지하는지 확인하기
이번에는 \(Y\sim N(50,5^2)\)일 때 \(P(43\le Y\le62)\)를 구한다. 표는 여전히 \(P(0\le Z\le z)\)를 제공한다고 하자.
\[ Z=\frac{Y-50}{5} \]
따라서
\[ P(43\le Y\le62) =P(-1.4\le Z\le2.4) \]
구간이 \(0\)을 포함하므로
\[ P(-1.4\le Z\le2.4) =P(-1.4\le Z\le0)+P(0\le Z\le2.4) \]
표에서 \(P(0\le Z\le1.4)=0.4192\), \(P(0\le Z\le2.4)=0.4918\)이므로
\[ P(-1.4\le Z\le2.4)=0.4192+0.4918=0.9110 \]
이번에는 음의 끝점과 양의 끝점의 위치가 바뀌었지만, 표준화한 뒤 \(0\)을 기준으로 두 구간을 나누는 절차는 그대로 유지된다. 학생이 \(1.4\)와 \(2.4\)의 행·열을 정확히 찾고, 두 값을 빼지 않고 더했다면 조건 변화에도 풀이 규칙을 적용한 것이다.