서초구고2수학과외

서초구고2수학과외, 지수부등식의 부등호 변화 줄을 추적하는 연습

서초고등학교, 상문고등학교, 반포고등학교 등 서초구의 고등학교에서는 중학교 때보다 긴 풀이와 서술형 근거가 함께 요구된다. 반포동·방배동·서초동·양재동처럼 통학과 과제 일정이 다른 생활권에서는 짧은 시간에도 풀이의 핵심 판단을 기록하는 습관이 중요하다. 특히 지수부등식은 교점만 찾고 어느 구간에서 그래프의 위아래가 바뀌는지 적지 않으면 답이 완성되지 않는다.

교점은 찾았지만 어느 그래프가 위에 있는가

다음 부등식을 살펴보자.

2^x > x+1

두 그래프의 교점은

2^x=x+1

에서 찾는다. x=0이면 1=1이고, x=1이면 2=2이므로 교점의 x좌표는 0과 1이다. 그러나 교점만 적으면 부등식의 해를 결정할 수 없다.

학생의 오답표에는 “교점 0, 1”만 남아 있고, 그 아래에 곧바로 x<0 또는 x>1이라고 적혀 있었다. 이 결론 자체는 맞지만, 어느 구간에서 2^x가 큰지 확인한 계산 줄이 없었다. 반대로 교점 사이의 x=1/2을 대입하면

2^1/2=√2≈1.414,   1/2+1=1.5

이므로 2^x<x+1이다. 따라서 교점 사이에서는 부등호가 반대가 되고, 바깥 구간에서 원래의 >가 성립한다.

x=1/2를 넣어 부등호 줄을 되살리기

풀이할 때는 교점을 구한 뒤 구간을 나누고, 각 구간의 대표값을 하나씩 선택한다.

• x<0에서는 x=-1을 대입한다: 2^-1=1/2, x+1=0이므로 2^x>x+1.
• 0<x<1에서는 x=1/2을 대입한다: √2<3/2이므로 2^x<x+1.
• x>1에서는 x=2를 대입한다: 4>3이므로 2^x>x+1.

끝점에서는 두 값이 같으므로 엄격한 부등식의 해에 포함하지 않는다. 따라서 최종 답은

x∈(-∞,0)∪(1,∞)

이다. 답안에는 “x=0, 1에서 교점, x=1/2에서 2^x<x+1 확인”처럼 그래프의 위아래를 판단한 문장을 남겨야 한다. 그래프의 단조성이나 교점의 위치만으로 구간 전체의 부등호를 생략하면 계산 줄과 결론 사이의 연결이 끊긴다.

밑과 직선이 바뀐 검증 문제

새 조건에서 다음 문제를 풀어 보자.

3^x > 2x+1

x=0과 x=1에서 각각 등호가 성립한다. 이후 학생이 교점만 적지 않고, x=1/2을 대입하여

3^1/2=√3≈1.732<2

임을 확인한다면 0과 1 사이에서 3^x<2x+1임을 스스로 표시한 것이다. 또한 x=-1에서는 1/3>-1, x=2에서는 9>5이므로 원래 부등식의 해는

x∈(-∞,0)∪(1,∞)

가 된다. 숫자와 밑이 달라져도 교점 뒤에 대표값을 대입하고, 원래 부등호가 유지되는 구간을 답안에 먼저 적는지가 확인 기준이다.