서초구고1수학과외, 꼭짓점과 정의역으로 이차함수의 값 판단하기
서초고등학교, 상문고등학교, 반포고등학교 등 서초구의 고등학교에서는 중학교 때보다 식의 해석과 조건 확인이 함께 요구되는 문제가 늘어난다. 통학과 과제가 겹치는 시기일수록 괄호 안 부호를 읽고, 정의역까지 반영해 최댓값과 최솟값을 판단하는 과정을 짧게 정리해 두는 것이 필요하다.
꼭짓점 좌표를 바로 적은 풀이에서 빠진 표시
학교 프린트의 함수 y=−2(x−3)²+5를 풀 때 학생은 식을 본 뒤 꼭짓점을 곧바로 (−3, 5)라고 적었다. 괄호 안의 −3을 그대로 x좌표로 읽은 것이다. 답안에는 꼭짓점과 정의역을 이용해 최댓값·최솟값을 판단했는지 확인하는 표시도 없었다.
이 식은 y=a(x−p)²+q에서 p=3, q=5이므로 꼭짓점은 (3,5)이다. 괄호 안이 x−3이면 x좌표는 3이고, x+3=x−(−3)으로 나타낼 때에만 x좌표가 −3이다.
정의역이 꼭짓점의 높이를 허용하는지 확인하기
꼭짓점만 찾았다고 항상 최댓값과 최솟값이 결정되는 것은 아니다. 예를 들어
y=−2(x−3)²+5, 1≤x≤6
에서는 아래로 열린 포물선이므로 꼭짓점의 y값 5가 최댓값이다. 최솟값은 정의역의 양 끝에서 비교한다.
- f(1)=−2(−2)²+5=−3
- f(6)=−2(3)²+5=−13
따라서 최댓값은 5, 최솟값은 −13이다. x좌표를 −3으로 잘못 읽으면 꼭짓점이 정의역 밖에 있다고 판단하게 되어 전체 결론도 달라진다.
식 옆에 p와 q를 분리해 적는 훈련
수정할 때는 식을 보자마자 계산하지 않고, 먼저 p=3, q=5를 따로 적는다. 이어서 꼭짓점을 (p,q)=(3,5)로 표시하고, 실제 식에 대입해 확인한다.
x=3이면 y=−2(3−3)²+5=5이므로 꼭짓점은 (3,5)이다.
이후 정의역의 양 끝인 1과 6을 대입해 두 값을 비교한다. 학생이 새로운 식에서도 이 표시를 먼저 하고 대입 검산까지 이어 가면, 단순히 답을 고친 것이 아니라 부호 해석 절차를 바꾼 것으로 볼 수 있다.
문장 속 정보와 실제로 필요한 조건 구분하기
양재천 카페거리에서 출발한 공의 높이를 나타내는 식이 h(t)=−(t−4)²+12이고, 관찰 시간은 0≤t≤7이라고 하자. 문장에 출발 장소나 이동 시간이 함께 제시되어도 높이의 최댓값과 최솟값을 구할 때 필요한 것은 식과 시간의 범위다.
꼭짓점은 (4,12)이므로 최댓값은 12이다. 양 끝에서는 h(0)=−4, h(7)=3이므로 최솟값은 −4이다. 학생이 위치 설명을 계산 조건으로 잘못 사용하지 않고 t의 정의역만 골라내는지 확인한다.
조건이 바뀐 문제에서 다시 확인할 판단
마지막에는 숫자만 바꾼 식보다 정보가 섞인 문장제를 제시한다. 예를 들어 회전된 도형 그림에서 필요한 길이만 읽어 0≤x≤5를 찾아내고, 함수 y=3(x−2)²−1의 최솟값을 판단하게 한다. 이 함수는 위로 열리고 꼭짓점 (2,−1)이 정의역 안에 있으므로 최솟값은 −1이다. 끝점의 함수값은 각각 11과 26이어서 최댓값은 26이다.
이때 학생이 회전된 그림에서 필요한 초등 개념인 대응하는 길이와 위치만 복구한 뒤, p=2, q=−1을 표시하고 정의역과 끝점 값을 스스로 비교하는지 본다. 불필요한 문장이나 그림 정보를 제외하면서도 이차함수의 판단 절차를 혼자 시작한다면 이전 오류가 새로운 조건에서도 수정된 것이다.