서초구고3수학과외

서초구 고3수학과외, 극대·극소 판단에서 부호표가 끊긴 지점 찾기

서초고등학교, 상문고등학교, 반포고등학교 등 서초구의 일반고 학생들은 중학교 때보다 이동 시간과 과제, 시험 범위가 함께 늘어나면서 풀이를 오래 붙잡기보다 틀린 줄을 정확히 분류하는 습관이 중요해진다. 반포동·방배동·서초동·양재동·잠원동처럼 생활권과 통학 조건이 다른 만큼, 짧은 복습 시간에도 풀이의 조건을 다시 확인하는 방식이 필요하다.

접점과 극값을 같은 것으로 본 오답

학생은 다음 함수의 극대·극소를 구하는 과정에서 도함수가 0이 되는 점을 모두 극값으로 표시했다.

f(x)=x³-3x²+1

먼저 도함수는

f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)

이므로 임계점은 x=0, 2이다. 그런데 학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

f′(x)=3x(x-2)=0에서 x=0, 2
따라서 x=0, 2에서 모두 극값이다.

이 식의 첫 줄까지는 맞지만 결론은 틀렸다. 임계점은 도함수가 0이 되는 후보일 뿐이며, 극대·극소가 되려면 해당 점을 지날 때 f′(x)의 부호가 바뀌어야 한다. ‘도함수=0’이라는 조건과 ‘극값’이라는 결론을 바로 연결한 것이 오류다.

부호표와 함수값을 연결해 수정하기

학생은 틀린 결론에 밑줄을 긋고, 임계점 0과 2를 수직선에 표시한 뒤 각 구간에서 도함수의 부호를 확인했다.

• x<0: x<0, x-2<0이므로 f′(x)>0
• 0<x<2: x>0, x-2<0이므로 f′(x)<0
• x>2: x>0, x-2>0이므로 f′(x)>0

따라서 부호는 + → - → +로 변한다. x=0에서는 증가하다 감소하므로 극대, x=2에서는 감소하다 증가하므로 극소이다. 함수값을 원래 식에 대입하면

f(0)=1,　f(2)=8-12+1=-3

이므로 극대는 (0, 1), 극소는 (2, -3)이다. 학생은 마지막에 f′(x)의 부호표와 f(x)에 대입한 결과를 화살표로 연결해, 임계점·부호 변화·함숫값이 각각 다른 역할임을 확인했다.

부호 변화가 없는 임계점 검산

다음 문제로 절차를 바꾸어 검증했다.

g(x)=x⁴-4x²+5에서 x=0 부근의 극값을 판단하시오.

g′(x)=4x³-8x=4x(x²-2)이다. 임계점은 x=-√2, 0, √2이고, x=0의 양옆에서

• -√2<x<0: g′(x)>0
• 0<x<√2: g′(x)<0

이므로 x=0에서는 부호가 +에서 -로 바뀐다. 따라서 x=0은 극대이며, g(0)=5이다. 반면 원점 근처의 모양만 보고 접하거나 미분계수가 0인 점을 무조건 극값으로 판단하면 안 된다. 학생은 새 함수의 임계점을 모두 구한 뒤, 각 점의 좌우 부호와 함수값을 순서대로 적어 처음 줄부터 같은 절차를 유지했다.