양재동고2수학과외, 지수부등식에서 경계값과 정수해를 함께 읽는 연습
양재동에서 언남고등학교 수업을 마친 뒤 양재천 카페거리 주변에서 자습할 때, 풀이 시간이 짧다는 이유로 마지막 해의 조건을 생략하면 지수부등식에서 오답이 생기기 쉽다. 특히 실수해의 구간과 정수해의 집합을 차례로 구한 뒤 교집합을 남겨야 한다.
2x≥8에서 x=3은 빠지는 값이 아니다
다음 부등식을 살펴보자.
2x≥8
8=23이고 밑 2는 1보다 크므로 지수의 대소관계가 그대로 유지된다.
따라서 x≥3이다. 수직선에서는 3에 닫힌 점을 찍고 오른쪽을 표시해야 한다.
그런데 답안에는 3을 열린 점으로 표시한 뒤 x>3이라고 적혀 있었다. 이는 ‘이상’의 경계값을 제외한 오류다. 실제로 x=3을 원래 식에 대입하면 23=8이므로 8≥8을 만족한다. 경계값은 임의로 제거할 수 없고, 부등호가 ≥ 또는 ≤인지 확인해야 한다.
정수 조건은 구간을 얻은 뒤 교집합으로 처리한다
이제 조건이 하나 더 붙은 문제를 보자.
2x≥8, x는 정수, -1≤x≤5
첫 번째 부등식에서 x≥3을 얻고, 주어진 범위에서는 -1≤x≤5이다. 두 조건을 동시에 만족해야 하므로
[3, ∞) ∩ [-1, 5] = [3, 5]
정수해는 x=3, 4, 5이다. x=3을 제외하면 안 되고, 범위 밖인 x=6도 포함하면 안 된다. 풀이 옆에 ‘실수 범위’와 ‘정수 조건’을 분리해 적으면 이 교집합이 눈에 보인다.
계수가 바뀐 지수부등식에서 방향을 먼저 확인하기
다음 변형에서는 같은 방식으로 처리하되, 계수와 부호를 먼저 정리한다.
-3·2x+24≤0, x는 정수, 0≤x≤6
양변에 3을 더하는 방식보다 먼저 정리하면
-3·2x≤-24
양변을 -3으로 나눌 때 부등호 방향이 바뀌므로
2x≥8
결국 x≥3이고, 0≤x≤6인 정수와의 교집합은
x∈{3, 4, 5, 6}
이다. x=3을 직접 대입하면 -3·8+24=0이므로 등호를 만족한다. 따라서 이 문제에서도 경계값 3은 닫힌 쪽에 포함된다.
비슷한 두 문제 중 적용할 조건을 골라내기
마지막으로 아래 두 식을 구별해 보자.
(가) 2x≥8, x는 정수, -2≤x≤4
(나) 2x>8, x는 정수, -2≤x≤4
(가)는 x≥3이므로 해가 {3, 4}이고, (나)는 x>3이므로 해가 {4}이다. 두 문제는 숫자와 범위가 거의 같지만 ≥와 >의 차이 때문에 경계값의 포함 여부가 달라진다.
새 문제를 풀 때는 먼저 부등호를 동그라미 치고, 지수식으로 바꾼 뒤 수직선에 닫힌 점 또는 열린 점을 표시한다. 그 다음 정수 조건과 주어진 범위를 겹쳐 쓰고, 경계값을 원래 식에 대입한다. 이 순서를 지키면 2x≥8을 x>3으로 바꾸는 오류와 정수가 아닌 값을 답에 섞는 오류를 동시에 확인할 수 있다.