양재동고3수학과외

양재동 고3수학과외에서 구간 변화에 따라 극값 후보를 다시 선별한 사례

언남고등학교 통학 후 양재천 카페거리 인근에서 자습하던 학생은 계산 자체보다 새 구간에서 임계점과 끝점을 모두 다시 확인하는 과정이 필요했다. 양재동 고3수학과외에서는 이전 문제의 최대점이나 중간식을 기억해 쓰지 않고, 함수식과 정의역의 관계부터 다시 표시하게 했다.

이전 최대점을 그대로 사용한 오답

새 문제를 다음과 같이 제시했다.

g(x)=x³-3x²-9x+4, -2≤x≤3

학생은 앞 문제에서 얻은 임계점 x=1을 그대로 사용해 다음과 같이 적었다.

g(1)=1-3-9+4=-7이므로 최대값은 -7이다.

이 식은 오답이다. 새 함수의 도함수는

g′(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)

이므로 임계점은 x=-1, 3이다. 이전 함수의 임계점 x=1은 새 함수의 도함수 g′(x)를 0으로 만들지 않으며, 따라서 극값 후보가 될 수 없다. 또한 구간의 끝점 x=-2도 반드시 비교해야 한다.

틀린 줄을 표시하고 후보를 다시 만드는 과정

• 틀린 줄: “이전 최대점 x=1을 그대로 대입한다.”
• 조건 확인: 새 함수의 도함수와 구간 -2≤x≤3을 기준으로 후보를 정한다.
• 식 수정: g′(x)=3(x+1)(x-3)=0에서 x=-1, 3을 구한다.
• 후보 대입: x=-2, -1, 3에서 함수값을 계산한다.

각 후보의 함수값은

g(-2)=-8-12+18+4=2

g(-1)=-1-3+9+4=9

g(3)=27-27-27+4=-23

이다. 따라서

최댓값은 9, 최솟값은 -23이고, 각각의 위치는 x=-1, x=3이다.

검산으로 도함수의 부호를 확인하면 g′(x)는 x<-1에서 양수, -1<x<3에서 음수이므로 x=-1에서 증가하다 감소한다. 따라서 g(-1)=9는 실제 최댓값이다. x=3 뒤에는 다시 증가하지만 구간이 3에서 끝나므로 g(3)=-23은 구간 내 최솟값이다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제를 추가했다.

h(x)=2x³-9x²-12x+5, -1≤x≤4

학생은 먼저

h′(x)=6x²-18x-12=6(x-4)(x+1)

을 구했다. 임계점 -1과 4가 모두 구간 끝점과 겹치므로 별도의 내부 임계점은 없다. 끝점에서

h(-1)=-2-9+12+5=6, h(4)=128-144-48+5=-59

이다. 따라서 최댓값은 6, 최솟값은 -59이다. 이전 문제의 임계점이나 중간식을 재사용하지 않고, 새 계수와 새 구간에서 도함수·후보·대입을 차례로 검산해 답을 완성했다.