양재동고1수학과외, 꼭짓점 대응으로 포물선 평행이동 읽기
언남고등학교 프린트를 풀던 학생의 풀이에는 y=2(x-1)2+3과 y=2(x-4)2-1 사이의 관계를 묻는 문제가 있었다. 두 식의 계수 \(a=2\)가 같으므로 포물선의 모양과 축의 방향은 같고, 꼭짓점만 각각 \((1,3)\), \((4,-1)\)로 달라진다.
부호를 먼저 바꾼 풀이에서 생긴 혼동
학생은 오른쪽으로 3만큼 이동했다는 말을 보고 식 안의 부호도 같은 방향으로 바꾸어 y=2(x+3-1)2+3처럼 적었다. 그러나 오른쪽 이동은 기존 함수에 \(x-3\)을 대입하는 방식이다. 식 안의 \(x\)가 이동하는 방향과 그래프 위 점의 이동 방향이 반대로 보이기 때문이다.
실제로 \(f(x)=2(x-1)^2+3\)이라 하면 오른쪽 3, 아래쪽 4만큼 이동한 함수는
y=f(x-3)-4=2((x-3)-1)^2+3-4=2(x-4)^2-1
이다. 따라서 꼭짓점은 \((1,3)\)에서 \((4,-1)\)로 변한다. \(x\)좌표 변화량은 \(+3\), \(y\)좌표 변화량은 \(-4\)이므로 평행이동 벡터는 \((3,-4)\)이다.
식보다 먼저 대응점을 고정하기
이 유형에서는 풀이 첫 줄에 이동 전후의 대응점을 적는다.
- 이동 전 꼭짓점: \((1,3)\)
- 이동 후 꼭짓점: \((4,-1)\)
- \(\Delta x=4-1=3\)
- \(\Delta y=-1-3=-4\)
꼭짓점 외의 점으로도 확인할 수 있다. 원래 그래프에서 \(x=0\)일 때 \(y=5\)이므로 \((0,5)\)가 그래프 위에 있다. 이를 \((3,-4)\)만큼 옮기면 \((3,1)\)이고, 새 식에 대입하면 \(2(3-4)^2-1=1\)이 되어 대응이 맞는다.
같은 a가 알려 주는 것과 알려 주지 않는 것
두 식의 \(a\)가 같다는 사실은 두 그래프가 같은 폭과 방향을 가진다는 뜻이지, 이동량까지 결정한다는 뜻은 아니다. 이동량은 반드시 꼭짓점의 좌표 차이로 구해야 한다. 예를 들어 \(y=-3(x+2)^2+5\)와 \(y=-3(x-1)^2+2\)의 꼭짓점은 각각 \((-2,5)\), \((1,2)\)이므로 이동은 오른쪽 3, 아래쪽 3이다. 계수 \(-3\)은 그대로지만 꼭짓점 좌표를 비교하지 않으면 이동 방향을 판단할 수 없다.
양재천 이동 뒤 짧은 시간에 남길 기록
양재천 카페거리 쪽을 지나 귀가한 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 식을 여러 번 베껴 쓰기보다, 학교 문제의 두 그래프에 대해 꼭짓점 두 쌍과 변화량만 먼저 적는 방식이 효율적이다. 정답이 맞아도 \((x_1,y_1)\rightarrow(x_2,y_2)\), \(\Delta x\), \(\Delta y\)가 빠졌다면 이동 근거가 확인되지 않은 것으로 남긴다.
조건이 하나 더 붙은 서술형으로 확인하기
새 문제에서 \(y=2(x+2)^2-3\)을 오른쪽 5, 위쪽 2만큼 이동한 그래프를 구하고, 원래 꼭짓점과 이동 후 꼭짓점의 관계를 설명하게 한다. 먼저 원래 꼭짓점 \((-2,-3)\)에 변화량 \((5,2)\)를 적용하면 새 꼭짓점은 \((3,-1)\)이다. 따라서 식은
y=2(x-3)^2-1
이다. 학생이 공식만 쓰지 않고 꼭짓점 \((-2,-3)\rightarrow(3,-1)\), \(\Delta x=5\), \(\Delta y=2\)를 제시하며 식을 연결하는지 확인한다. 마지막에는 “식 안의 부호를 이동 방향과 같게 처리했다”처럼 막힌 지점을 한 문장으로 적게 하여, 대응점 확인 없이 부호부터 바꾸던 오류가 실제로 수정됐는지 판단한다.