서초동고2수학과외

2^x ≥ 8에서 x=3을 열린점으로 그린 이유

서초동고2수학과외 수업에서 서초고등학교, 서울고등학교, 양재고등학교 학생의 풀이를 살펴볼 때, 방과후 이동 뒤 짧게 확보한 자습시간에는 지수부등식의 계산보다 경계값 표시에서 오류가 드러나기도 한다. 서초포레스타2단지와 서초포레스타3단지처럼 통학 동선이 다른 생활권에서는 풀이를 길게 반복하기보다 조건, 계산, 검산을 분리해 한 줄씩 확인하는 방식이 효과적이다.

경계값을 구하고도 열린점으로 바뀐 풀이

문제는 다음과 같다.

2^x ≥ 8

밑 2는 1보다 크므로 지수함수는 증가한다. 따라서 양변을 2의 거듭제곱으로 나타내면

2^x ≥ 2³  →  x ≥ 3

가 된다. 그런데 풀이 여백에는 x=3을 열린점으로 표시하고, 정수해를 4, 5, 6, …이라고 적었다. 이때 빠진 것은 계산이 아니라 부등호의 포함 여부다. 원래 부등호가 ≥이므로 2³=8은 조건을 만족한다. 따라서 x=3은 해에 포함되며, 수직선에서는 닫힌 점으로 나타내야 한다.

부등호 변화가 일어난 줄을 따로 표시하기

비슷한 문제를 다시 풀 때도 경계값에서 같은 표시를 반복한다면, 답만 고치는 것으로는 부족하다. 풀이를 다음 세 칸으로 나누어 각 오류의 위치를 표시한다.

• 조건: 밑 2는 1보다 크고, 부등호 방향은 유지된다.
• 계산: 2^x ≥ 2³ 이므로 x ≥ 3.
• 검산: 경계값 x=3을 대입하면 2³=8이므로 참이다.

만약 계산 칸은 x≥3으로 맞고 수직선만 열린점이라면 계산을 다시 처음부터 반복하지 않고 검산 칸에서 “≥는 경계 포함”이라고 고쳐 쓴다. 정수해를 묻는 경우에는 x가 정수라는 조건을 마지막에 적용하여 3, 4, 5, …로 적는다.

밑이 1보다 작은 경우까지 바꾸어 확인하기

새 조건에서 같은 판단이 유지되는지는 다음 문제로 확인한다.

(1/2)^x > 1/8,   x는 정수

1/8=(1/2)³이고, 밑 1/2는 0과 1 사이이므로 지수함수는 감소한다. 따라서

(1/2)^x > (1/2)³  →  x < 3

정수해는 …, 0, 1, 2이다. x=3에서는 양변이 같아 엄격한 부등식 >를 만족하지 않으므로 경계값은 열린점이다. 이 문제에서 밑의 범위, 부등호 방향, 경계 포함 여부, 정수 조건을 순서대로 혼자 적고 마지막에 x=2와 x=3을 각각 대입한다면, 숫자가 바뀌어도 계산 줄과 검산 줄을 구분해 처리하고 있는지 확인할 수 있다.