서초동고3수학과외

서초동 고3수학과외: 끝점 누락으로 뒤집힌 최댓값·최솟값

서초동의 서초고등학교, 서울고등학교, 양재고등학교 학생은 통학과 방과후 이동 뒤 남은 자습시간에 풀이를 다시 검산하는 습관이 중요하다. 서초포레스타2단지·3단지 생활권이나 학교 주변에서 자습할 때도 답만 옮기지 않고, 모순이 처음 생긴 줄을 찾아야 한다. 상문고등학교와 반포고등학교는 같은 서초구 내 참고 학교이며 서초동 소재 학교로 구분하지 않는다.

임계점만으로 최댓값을 정한 풀이

학생은 다음 함수를 구간 [-2, 4]에서 조사했다.

f(x)=x³-3x²-9x+4

미분하면

f′(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)

따라서 임계점은 x=-1, 3이다. 학생은 두 값만 계산해

f(-1)=-1-3+9+4=9,　f(3)=27-27-27+4=-23

이라고 한 뒤, 최댓값은 9, 최솟값은 -23이라고 결론 냈다.

오답: 내부 임계점만 비교했으므로 최댓값과 최솟값을 확정할 수 없다.

닫힌 구간에서 극값을 찾을 때는 내부 임계점뿐 아니라 양 끝점 x=-2, 4도 후보에 포함해야 한다. 실제로 부호표를 작성하면

• x<-1에서 f′(x)>0
• -1<x<3에서 f′(x)<0
• x>3에서 f′(x)>0

이므로 x=-1에서는 증가에서 감소로 바뀌어 국소최대, x=3에서는 감소에서 증가로 바뀌어 국소최소가 된다. 그러나 구간 전체의 최댓값·최솟값은 끝점과 함께 비교해야 한다.

첫 모순이 생긴 줄부터 수정하기

학생은 오답지에서 ‘후보값: x=-1, 3’이라고 쓴 줄에 밑줄을 그었다. 문제의 구간 조건 -2≤x≤4를 다시 확인한 뒤, 후보 목록을

x=-2, -1, 3, 4

로 고쳤다. 이제 함수값을 다시 계산한다.

• f(-2)=-8-12+18+4=2
• f(-1)=9
• f(3)=-23
• f(4)=64-48-36+4=-16

따라서 함수값 비교표는

2, 9, -23, -16

이고, 구간에서 최댓값은 9, 최솟값은 -23이다. 학생은 마지막에 x=4를 대입한 값이 f(3)보다 크므로 끝점을 제외한 기존 후보만으로는 전체 최솟값·최댓값을 판단할 수 없다는 점을 역검산했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않도록 함수와 구간을 바꾸었다.

g(x)=-x³+6x²-9x+2를 구간 [0,5]에서 조사하면

g′(x)=-3x²+12x-9=-3(x-1)(x-3)

임계점은 x=1, 3이다. 끝점까지 포함한 후보값은

• g(0)=2
• g(1)=-1+6-9+2=-2
• g(3)=-27+54-27+2=2
• g(5)=-125+150-45+2=-18

따라서 최댓값은 2, 최솟값은 -18이다. x=5를 누락하면 최솟값을 -2로 잘못 정하게 되므로, 학생은 임계점 계산 뒤 반드시 구간의 양 끝점을 후보 목록에 먼저 추가하는 방식으로 독립 검증을 마쳤다.