서초동고1수학과외, 같은 꼭짓점 포물선의 a 비교
서초동의 서초고등학교·서울고등학교·양재고등학교 관련 고1 수학 학습에서는 이차함수의 식을 계산하는 것보다, 두 그래프의 관계를 먼저 읽어내는 판단이 필요하다. 방과 후 이동 뒤 확보한 짧은 자습시간에도 다음과 같은 비교 절차를 답안 첫 줄에 남기는 연습이 효과적이다.
꼭짓점이 같다는 사실부터 식에서 표시하기
두 이차함수
f(x) = 2(x - 1)2 - 4, g(x) = -½(x - 1)2 - 4
는 모두 꼭짓점형 y = a(x - p)2 + q로 쓰여 있다. 두 식에서 p = 1, q = -4이므로 꼭짓점은 모두 (1, -4)이다. 따라서 비교할 값은 꼭짓점의 위치가 아니라 a이다.
- f는 a = 2이므로 위로 열리고, |a|가 크기 때문에 더 좁다.
- g는 a = -½이므로 아래로 열리고, |a|가 작기 때문에 더 넓다.
계산을 먼저 시작하면 빠지는 판단
실제 풀이에서 학생은 두 식의 꼭짓점을 적지 않은 채 “2가 더 크므로 f가 위에 있다”라고 쓴 뒤 다음 줄로 넘어갔다. 이 문장은 비교 기준이 부족하다. a의 부호는 위·아래 방향을 정하고, |a|의 크기는 폭을 정하므로 두 가지를 분리해서 봐야 한다.
같은 꼭짓점인지 확인 → a의 부호 비교 → |a|로 폭 비교
예를 들어 x = 2에서 두 함수의 값을 대입하면 f(2) = -2, g(2) = -4이다. 하지만 한 점에서의 함수값만 비교해서는 두 포물선의 전체 모양을 설명할 수 없다. 먼저 꼭짓점과 a를 비교해야 하는 이유가 여기에 있다.
답안 첫 줄에 남길 수 있는 수학적 흔적
서초동에서 학교 프린트를 복습할 때는 식 옆에 다음처럼 표시한다.
V = (1, -4) 동일, af = 2 > 0, ag = -½ < 0
이 표시는 단순한 메모가 아니라 이후 결론의 근거다. f는 위로, g는 아래로 열리며, 두 그래프는 같은 점에서 방향이 반대다. 만약 두 a가 모두 양수라면 부호가 아니라 절댓값을 비교해야 한다.
새 조건에서 절차가 살아 있는지 확인하기
연습 문제의 수치를 바꾸어 다음을 제시한다.
u(x) = -3(x + 2)2 + 5, v(x) = -(x + 2)2 + 5
학생이 계산부터 하지 않고 풀이 시작 전에 꼭짓점 (-2, 5) 동일을 표시하는지 본다. 두 함수 모두 아래로 열리지만, |−3| > |−1|이므로 u의 그래프가 v보다 좁다. 새로운 숫자에서도 이 표시와 비교가 먼저 남아야 같은 문제를 외운 것이 아니라 판단 순서를 적용한 것이다.
식 변형 뒤에도 비교 기준을 보존하기
꼭짓점형을 전개하면
u(x) = -3x2 - 12x - 7
이 된다. 전개된 식만 보고 꼭짓점을 찾으려면 완전제곱식으로 다시 정리해야 하므로, 비교 문제에서는 가능한 한 a(x-p)2+q 형태를 먼저 확보한다. 전개나 인수분해 결과를 얻은 뒤에는 다시 곱해 원래 식이 되는지 확인하듯, 꼭짓점형으로 되돌려 a와 꼭짓점을 재확인하면 빠진 계수나 부호를 발견할 수 있다.