방배동고2수학과외

방배동고2수학과외, 지수부등식에서 경계값과 정수해를 구분하는 풀이

방배동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 지수부등식의 답을 단순히 계산하는 것보다 밑의 범위, 부등호 방향, 경계값의 포함 여부를 차례로 확인하는 연습이 필요하다. 상문고등학교, 서문여자고등학교, 동덕여자고등학교 등 방배동 소재 학교의 수학 학습에서도 이 판단이 서술형 답안의 정확도를 좌우한다. 서울웹툰애니메이션고등학교와 서초구 내 참고 학교인 서울고등학교를 포함해 학교별 출제 내용을 단정할 수는 없지만, 지수부등식에서 반복되는 오류는 수식 자체를 잘못 계산해서가 아니라 조건을 답안에 남기지 않는 데서 생긴다.

2^x ≥ 8에서 x=3은 열린점이 아니다

학생의 풀이에는 다음과 같은 흔적이 남아 있었다.

2^x ≥ 8에서 x ≥ 3, 그런데 수직선의 3을 열린점으로 표시

밑이 2이므로 2>1이고 지수함수는 증가한다. 따라서

2^x ≥ 2³ ⟹ x ≥ 3

이다. 등호가 포함되어 있으므로 x=3도 해이다. 따라서 실수해는 [3, ∞)이고, 정수해를 묻는다면 x∈ℤ 조건을 추가하여 3, 4, 5, …로 적는다. 3에서 열린점을 그리면 x=3을 제외하게 되므로 원래 부등식과 맞지 않는다.

밑의 범위가 부등호 방향을 결정한다

지수부등식에서는 공통 밑으로 바꾼 뒤 바로 지수만 비교하지 않는다. 먼저 밑을 확인해야 한다.

• a>1이면 a^x는 증가하므로 부등호 방향이 유지된다.
• 0<a<1이면 a^x는 감소하므로 부등호 방향이 뒤집힌다.
• a≤0 또는 a=1인 경우에는 해당 지수함수의 일반적인 비교 조건을 그대로 적용할 수 없다.

답안에 밑의 범위가 남지 않는다면, 계산 전에 식 위에 “밑 2>1, 증가함수”처럼 짧게 기록하게 한다. 경계값을 구한 뒤에는 등호가 있는지 확인하고, 마지막에 정수 조건을 적용한다. 이 세 단계가 빠지면 실수해와 정수해, 닫힌 구간과 열린 구간이 서로 섞인다.

오류를 지우기 전에 원인을 한 문장으로 남긴다

잘못 그린 그래프를 곧바로 지우게 하지 않고, 먼저 다음 문장을 적게 한다.

“≥이므로 경계값 x=3을 포함해야 하는데 열린점으로 표시했다.”

그다음 해당 단계만 열린점에서 닫힌점으로 바꾼다. 풀이 전체를 다시 쓰는 대신 오류가 발생한 판단과 수정된 판단을 나란히 확인하면, ‘경계값을 구했다’와 ‘경계값을 해에 포함했다’가 다른 과정임을 답안에서 확인할 수 있다.

밑이 1보다 작은 변형에서 정수해까지 확인하기

다음 문제에서는 같은 행동이 유지되는지 확인한다.

(1/3)^2x−1 < (1/3)⁵, x∈ℤ

밑 1/3은 0과 1 사이이므로 지수 비교에서 부등호가 뒤집힌다.

2x−1 > 5
2x > 6
x > 3

따라서 실수해는 (3, ∞)이고, 정수해는 x≥4이다. x=3은 등호를 대입하면 양변이 같아져 원래의 “<”를 만족하지 않으므로 제외된다. 수직선에서는 3을 열린점으로 표시해야 한다.

이때 확인할 기준은 답만 x≥4로 적었는지가 아니다. 밑이 1/3이라 부등호를 뒤집었다는 근거를 남겼는지, “<” 때문에 3을 제외했는지, 정수 조건을 마지막에 적용했는지를 함께 살핀다. 방배동의 통학 동선 뒤 짧게 확보한 자습시간에도 두 문제의 밑과 등호를 표로 비교하면, 2>1인 경우의 닫힌 경계와 0<1/3<1인 경우의 열린 경계를 구별할 수 있다.