방배동 고3 수학과외: 끝점까지 확인하는 최댓값·최솟값 판단
방배동에서 상문고등학교, 서문여자고등학교, 동덕여자고등학교, 서울웹툰애니메이션고등학교로 통학한 뒤 방배동삼호아파트나 방배신삼호아파트 인근에서 자습하는 학생은 제한된 시간 안에 풀이의 계산보다 후보를 빠뜨리지 않는 판단 절차를 익힐 필요가 있다. 같은 서초구의 서울고등학교는 참고 학교이므로 방배동 소재 학교와는 구분하였다.
끝점을 제외한 답안은 왜 틀렸을까
학생은 다음 함수의 닫힌구간 최댓값과 최솟값을 구하면서 내부 임계점만 조사했다.
문제: \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)의 구간 \([-2,4]\)에서 최댓값과 최솟값을 구하여라.
학생의 풀이에는 다음과 같은 흔적이 남아 있었다.
\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\)
임계점은 \(x=-1,3\)이다.
\(f(-1)=10,\quad f(3)=-22\)
따라서 최댓값은 \(10\), 최솟값은 \(-22\)이다.
이 결론은 오답이다. 닫힌구간 \([-2,4]\)에서는 내부 임계점 \(x=-1,3\)뿐 아니라 끝점 \(x=-2,4\)도 반드시 후보에 포함해야 한다. 실제로
- \(f(-2)=-8+12+18+5=27\)
- \(f(-1)=-1-3+9+5=10\)
- \(f(3)=27-27-27+5=-22\)
- \(f(4)=64-48-36+5=-15\)
이므로 구간 전체의 최댓값은 \(27\), 최솟값은 \(-22\)이다. 학생이 틀린 부분은 함수값 계산이 아니라 허용되는 후보의 범위를 끝점까지 확장하지 않은 것이다.
부호표로 후보를 먼저 확정하기
도함수는
\[ f'(x)=3(x+1)(x-3) \]
이고, 구간 안의 순서는 \(-2,-1,3,4\)이다. 부호를 확인하면
- \([-2,-1)\)에서 \(f'(x)>0\): 증가
- \((-1,3)\)에서 \(f'(x)<0\): 감소
- \((3,4]\)에서 \(f'(x)>0\): 증가
따라서 \(x=-1\)은 증가에서 감소로 바뀌는 국소적 최댓값이고, \(x=3\)은 감소에서 증가로 바뀌는 국소적 최솟값이다. 그러나 닫힌구간의 절대 최댓값·최솟값은 국소적 판단만으로 끝내지 않는다. 끝점과 내부 임계점에서의 함수값을 전부 비교해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 다시 검산한 과정
학생은 답안의 “임계점만 비교한다”는 줄에 표시한 뒤 다음 순서로 수정했다.
- 도함수가 0이 되는 점과 도함수가 존재하지 않는 점을 확인한다.
- 문제의 구간이 \([-2,4]\)인 닫힌구간인지 다시 읽는다.
- 후보를 \(\{-2,-1,3,4\}\)로 수정한다.
- 네 함수값을 계산한 뒤 가장 큰 값과 가장 작은 값을 비교한다.
- 부호표의 증가·감소 방향과 함수값의 변화가 맞는지 역검산한다.
\(x=-2\)에서 \(x=-1\)까지 증가하여 \(f(-2)=27>f(-1)=10\)이고, \(x=3\)에서 \(x=4\)까지 다시 증가하지만 \(f(4)=-15\)는 \(f(3)=-22\)보다 클 뿐이다. 따라서 최종 답은
최댓값 \(27\), 최솟값 \(-22\)
이다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 유형을 반복하지 않고 구간과 함수식을 바꾸어 다음 문제를 해설 없이 다시 풀었다.
검증 문제: \(g(x)=-2x^3+9x^2+12x-1\)의 구간 \([-1,3]\)에서 최댓값과 최솟값을 구하여라.
학생은 먼저
\[ g'(x)=-6x^2+18x+12=-6(x-4)(x+1) \]
을 구하고, 구간 \([-1,3]\)에서 실제 후보가 \(x=-1\), \(x=3\)임을 표시했다. \(x=4\)는 임계점이지만 주어진 구간 밖이므로 제거한다.
- \(g(-1)=2+9-12-1=-2\)
- \(g(3)=-54+81+36-1=62\)
따라서 이 검증 문제의 최댓값은 \(62\), 최솟값은 \(-2\)이다. 이번에는 내부 임계점이 구간 밖에 있을 때 그 점을 후보로 남기지 않는 것까지 확인하며, 끝점과 허용된 임계점의 함수값을 비교하는 기준을 안정적으로 적용했다.