반포동고2수학과외

반포동고2수학과외: 지수부등식의 그래프에서 교집합을 다시 읽는 연습

반포고등학교, 세화고등학교, 세화여자고등학교처럼 학교별 지필평가와 수행평가 일정이 다른 환경에서는 같은 지수함수 단원이라도 풀이를 끝까지 연결하는 힘이 필요하다. 반포자이와 반포래미안아이파크 생활권에서 귀가 후 제한된 시간에 문제를 풀 때, 그래프의 교점만 표시하고 해 구간을 결정하지 않으면 서술형 풀이가 중간에서 멈추기 쉽다.

교점 두 개를 찾고도 해를 결정하지 못한 장면

문제는 다음과 같았다.

2^x ≥ 2x

두 그래프를 y = 2^x와 y = 2x로 놓으면 교점은

2^x = 2x

에서 찾는다. x = 1일 때 양변이 2이고, x = 2일 때 양변이 4이므로 교점은 (1, 2), (2, 4)이다.

그런데 풀이에는 교점만 적혀 있고, 어느 구간에서 지수함수 그래프가 직선보다 위에 있는지는 표시되어 있지 않았다. 교점의 x좌표를 답으로 적어 x = 1, 2라고 한 것은 부등식의 해가 아니다. 교점은 경계를 정할 뿐, 해 구간 자체를 뜻하지 않는다.

단조성은 교점의 순서를 정할 뿐, 구간의 부호까지 대신하지 않는다

2^x는 증가함수이고 2x도 증가함수지만, 두 함수의 증가 속도가 항상 같지는 않다. 따라서 “둘 다 증가하므로 교점 사이가 해”처럼 판단할 수 없다. 차이를 직접 확인해야 한다.

각 구간에서 2^x − 2x의 부호를 시험하면 다음과 같다.

• x = 0: 1 − 0 = 1 > 0
• x = 1.5: 2^1.5 − 3 ≈ 2.828 − 3 < 0
• x = 3: 8 − 6 = 2 > 0

따라서 그래프의 위아래 관계는

x < 1에서는 2^x > 2x,
1 < x < 2에서는 2^x < 2x,
x > 2에서는 2^x > 2x

가 된다. 부등식이 등호를 포함하므로 교점도 포함되어 최종 해는

x ≤ 1 또는 x ≥ 2

이다. 풀이 중간에 ‘교점 찾기’ 다음 줄에 반드시 ‘구간별 위아래 관계’를 남겨야 해의 교집합이 빠지지 않는다.

오답이 시작된 줄에서 그래프의 순서를 복원하기

처음부터 계산을 반복하기보다, 교점만 적은 줄 다음에 수직선과 시험값을 추가한다.

교점: x = 1, 2
시험값: 0, 1.5, 3
부호: +, −, +

이 기록으로 해 구간을 (−∞, 1] ∪ [2, ∞)로 재구성한다. 그래프를 그릴 때도 두 교점의 위치만 표시하지 않고, 각 구간에서 어느 그래프가 위에 있는지 화살표로 표시한다.

계수의 위치가 바뀐 식에서 다시 선택한 풀이

이후에는 다음 변형을 제시한다.

3·2^x − 6x ≥ 0

양변을 3으로 나누면

2^x ≥ 2x

가 된다. 여기서 계수 3과 6을 보고 새로운 공식을 임의로 고르는 대신, 공통 계수를 먼저 정리한 뒤 앞서 확인한 두 그래프의 비교로 연결해야 한다. 따라서 해는 다시

x ≤ 1 또는 x ≥ 2

이다. 답만 같다고 끝내지 않고, “3으로 나눈 뒤 지수함수와 직선의 위아래를 구간별로 비교했다”는 중간 판단을 확인한다.

계수와 표현이 바뀌어도 교점만 적는 데서 멈추지 않고, 기준점마다 부호를 확인해 해의 합집합을 재구성한다면 지수부등식의 그래프 단조성을 새로운 식에도 적용할 수 있다.