반포동고1수학과외, 제한된 이차함수의 끝점값까지 비교하기
반포동의 반포고등학교, 세화고등학교, 세화여자고등학교처럼 학교별 주간 일정이 다른 상황에서는 학교 프린트의 풀이 과정을 짧게 적는 습관이 오답으로 이어질 수 있다. 특히 정의역이 제한된 이차함수는 꼭짓점만 찾고 계산을 끝내면 최댓값이나 최솟값을 놓칠 수 있다.
꼭짓점이 구간 안에 있어도 답이 끝나지 않는 이유
다음 함수의 최댓값을 구해 보자.
f(x)=x2-6x+4, 1≤x≤5
완전제곱식으로 고치면
f(x)=(x-3)2-5
꼭짓점은 (3,-5)이고, 위로 열린 포물선이다. 따라서 꼭짓점에서는 최솟값이 -5가 된다. 하지만 최댓값은 꼭짓점에서 정해지지 않는다. 정의역의 양 끝인 x=1과 x=5에서 함수값을 비교해야 한다.
- f(1)=1-6+4=-1
- f(5)=25-30+4=-1
따라서 최솟값은 -5, 최댓값은 -1이다. 꼭짓점의 위치만 확인하고 끝점값을 계산하지 않으면 최댓값에 대한 근거가 빠진다.
결과식만 남은 답안에서 빠진 판단
학교 문제 풀이에서 학생의 답안에는 완전제곱식과 결과식만 적혀 있었다. 정의역 1≤x≤5를 확인한 표시도 없었고, 꼭짓점 밖의 끝점인 x=1, x=5를 대입한 흔적도 없었다. 그 상태에서 다음 줄로 넘어가 최솟값만 적었다.
f(x)=(x-3)2-5이므로 최솟값은 -5이다.
이 결론 자체는 맞지만, 문제에서 최댓값까지 요구했다면 풀이가 완성되지 않는다. 위로 열린 이차함수에서 꼭짓점은 가장 낮은 점이고, 제한된 구간에서 가장 높은 값은 양 끝점 중 하나에서 나올 수 있기 때문이다.
끝점 비교를 풀이 속에 남기는 방법
정의역이 a≤x≤b로 제한되어 있을 때는 먼저 꼭짓점의 x좌표가 구간 안에 있는지 확인한다. 그다음 꼭짓점에서의 함수값과 양 끝점의 함수값을 함께 비교한다. 이 문제에서는
1≤3≤5
이므로 꼭짓점이 구간 안에 있다. 이제 세 값을 나란히 적는다.
- f(3)=-5
- f(1)=-1
- f(5)=-1
이렇게 쓰면 아래로 가장 작은 값과 위로 가장 큰 값을 각각 판단할 수 있다. 학생에게는 계산을 시작하기 전 “꼭짓점이 구간 안에 있는가, 양 끝점은 어디인가”를 말로 설명하게 한 뒤 대입하도록 했다. 답안에 이 두 끝점의 값이 실제로 남아 있는지도 함께 확인했다.
끝점이 서로 다른 값을 만들 때의 비교
끝점값이 항상 같은 것은 아니다. 예를 들어
g(x)=-2x2+8x+1, 0≤x≤3
은
g(x)=-2(x-2)2+9
이므로 꼭짓점은 (2,9)이다. 끝점에서는
- g(0)=1
- g(3)=-18+24+1=7
따라서 최댓값은 9, 최솟값은 1이다. x=3에서의 값이 x=0에서의 값보다 크지만, 위로 열린 함수인지 아래로 열린 함수인지에 따라 꼭짓점의 역할이 달라진다는 점도 함께 확인해야 한다.
조건이 바뀐 표에서 관계를 판별하는 확인
새로운 문제에서는 도형의 길이 조건을 바꾸어 제시했다. 한 변의 길이가 x인 정사각형의 둘레를 y라 하면 표의 값은 다음과 같다.
- x=2일 때 y=8
- x=5일 때 y=20
- x=7일 때 y=28
각 행에서 y/x=4가 일정하므로 식은 y=4x이다. x가 두 배가 되면 y도 두 배가 되므로 정비례이다. 학생이 표의 변화 관계를 읽고 식과 그래프가 원점을 지나는 직선이라는 점까지 스스로 연결하는지 확인했다.
반대로 같은 도형에서 넓이가 20으로 고정되고 가로 길이를 x, 세로 길이를 y로 두면 xy=20, 즉 y=20/x가 된다. 이때는 곱이 일정하므로 반비례이다. 이처럼 조건 하나가 바뀌었을 때 비례 관계를 구별하고, 앞서 배운 이차함수 문제에서도 제한된 범위의 끝점을 빠뜨리지 않는지를 함께 점검한다.