반포동 고3수학과외, 극값 후보를 조건과 그래프로 걸러내기
반포동에는 반포고등학교, 세화여자고등학교, 세화고등학교가 있고, 같은 서초구의 상문고등학교와 서울고등학교는 별도 참고 학교로 볼 수 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정이 다르므로, 이번 학습에서는 특정 학교의 경향보다 학생이 조건을 읽고 풀이 순서를 조정하는 데 초점을 맞췄다.
극값 후보를 구한 뒤에도 부호표를 멈추지 않는 이유
학생은 다음 함수를 구간 [0,4]에서 분석하면서 도함수까지는 정확히 계산했다.
f(x)=x3-6x2+9x+2
문제에는 불필요하게 f(2)=4라는 조건도 제시되어 있었다. 실제로 원식에서 f(2)=8-24+18+2=4이므로, 이 조건은 극값의 위치를 결정하는 데 영향을 주지 않는다.
학생의 답안에는 다음과 같은 오답이 남았다.
오답:f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)이므로 극대와 극소는x=1, 3에서 발생한다.
이 식은 두 임계점을 찾는 과정까지는 맞지만, 극대·극소를 판정하지 않아 불완전한 답이다. 도함수의 부호는 x<1에서 양수, 1<x<3에서 음수, x>3에서 양수이다. 따라서 x=1에서는 증가에서 감소로 바뀌어 극대, x=3에서는 감소에서 증가로 바뀌어 극소가 된다.
틀린 줄에 조건과 검산을 연결한 수정
- 틀린 줄 표시: 두 근을 곧바로 극대·극소라고 적은 부분에 밑줄을 긋는다.
- 변수 관계 확인:
f'(x)=0은 극값 후보일 뿐이며, 좌우에서 도함수 부호가 바뀌어야 한다. - 식 수정: 부호표를
+ | x=1 | - | x=3 | +로 작성해x=1은 극대,x=3은 극소로 구분한다. - 원함수 대입:
f(1)=1-6+9+2=6,f(3)=27-54+27+2=2를 계산한다. - 구간 검산: 끝점도 비교하여
f(0)=2,f(4)=64-96+36+2=6임을 확인한다.
따라서 구간 [0,4]에서 최댓값은 6이고 x=1,4에서, 최솟값은 2이고 x=0,3에서 갖는다. 학생은 화살표로 f'(x)=0 → 후보 → 좌우 부호 → 원함수 대입을 연결해 적으며, 불필요한 f(2)=4 조건이 후보를 추가하지 않는다는 점도 분리했다.
끝점이 달라졌을 때의 독립 검증
같은 함수를 구간 [0,7/2]에서 다시 확인했다. 이번에는 두 임계점 1,3이 모두 구간 안에 있으므로 부호표는 동일하다.
f(0)=2, f(1)=6, f(3)=2, f(7/2)=343/8-147/2+63/2+2=27/8이다.
따라서 새 구간에서는 최댓값이 6으로 x=1에서, 최솟값이 2로 x=0,3에서 나온다. 끝점이 바뀌면 후보와 끝점의 비교 대상도 달라지므로, 이전 답을 복사하지 않고 좌우 부호와 경계값을 다시 계산해야 한다.