서대문 고2수학과외: 분수 지수와 근호의 성립 범위부터 확인하기
명지고등학교, 가재울고등학교, 중앙여자고등학교 등이 있는 서대문 생활권에서는 통학과 방과 후 이동 뒤 남는 자습 시간이 일정하지 않을 수 있다. 그래서 짧은 풀이에서도 계산을 시작하기 전에 조건을 표시하는 습관이 중요하다. 분수 지수 문제는 식을 곧바로 근호로 바꾸는 것보다 밑과 분모의 의미를 먼저 판단해야 한다.
82/3에서 분모 3을 놓친 풀이
오답표에는 다음과 같은 식이 남아 있었다.
82/3 = √(82) = 8
이 식은 제곱근 기호를 사용했으므로 분모 2인 지수와 연결된다. 따라서 올바른 변환은
82/3 = (∛8)2 = 22 = 4
또는
82/3 = ∛(82) = ∛64 = 4
이다. 일반적으로 양의 수 a에 대해
am/n = (ⁿ√a)m = ⁿ√(am)
으로 해석한다. 여기서 분모 n은 근호의 차수를 결정하고, 분자 m은 거듭제곱의 횟수를 결정한다. 82/3에서 3을 제곱근으로 바꾸면 안 되는 이유가 여기에 있다.
계산 전에 밑과 지수의 조건을 한 줄로 남기기
풀이 첫 줄에 다음처럼 적는다.
82/3: 밑 8>0, 지수 2/3은 기약분수, 분모 3은 세제곱근
이 표시 뒤에만 근호 변환을 실행한다. 특히 실수 범위에서 am/n을 다룰 때는 분수를 기약분수로 정리하고 분모의 짝홀을 확인해야 한다. 예를 들어
(−8)2/3 = (∛(−8))2 = (−2)2 = 4
는 분모가 3인 홀수근이므로 실수로 계산할 수 있다. 반면
(−8)1/2 = √(−8)
는 실수 범위에서 정의되지 않는다. 밑·지수 조건을 쓰지 않고 시작하면 이 두 경우를 같은 방식으로 처리하게 된다.
오답표의 한 줄만 남겨 조건을 덧붙이는 훈련
기존 풀이 전체를 지우지 않고 틀린 줄만 남긴다.
82/3 = √(82)
그 옆에 누락된 판단을 적는다.
분모 3 → 세제곱근, 밑 8>0
이제 제곱근 기호를 지우고
82/3 = ∛(82) = 4
로 다시 계산한다. 이 과정을 거치면 단순히 답을 외우는 것이 아니라 분수의 분모와 근호의 차수를 연결하게 된다. 기본 예제에서는 조건을 생략하다가 밑이 음수이거나 분모가 바뀌면 다시 임의의 제곱근을 쓰던 풀이도 함께 점검할 수 있다.
밑이 음수이고 분모가 바뀐 식으로 확인하기
다음 식을 별도로 제시한다.
(−27)2/3 + 163/4
먼저 각각의 조건을 적는다.
−27: 분모 3인 홀수근 가능
16: 분모 4인 짝수근이므로 밑 16≥0
따라서
(−27)2/3 = (∛(−27))2 = (−3)2 = 9
163/4 = (⁴√16)3 = 23 = 8
이므로 전체 값은 17이다. 풀이 시작 전에 두 밑의 범위와 근호의 차수를 각각 표시했는지, 음의 밑에서 홀수근을 적용했는지, 마지막에 두 값을 더했는지를 확인한다.