서대문 고3 수학과외에서 먼저 확인하는 극한의 수렴 조건
남가좌동·창천동·현저동·홍은동·홍제동에서 학교와 방과후 이동을 마친 뒤 자습 시간이 짧아질수록, 학생은 극한 계산을 빠르게 끝내려는 경향이 생긴다. 서대문독립공원이나 명물거리 인근에서 풀이를 이어 가던 학생도 계산식보다 먼저 각 수열의 수렴 여부를 표시하는 습관이 필요하다.
극한 기호와 항의 값을 혼동한 오류
학생은 다음 수열의 합을 계산하면서 각 항의 극한이 존재한다고 가정했다.
수열 \(a_n=(-1)^n,\quad b_n=1-(-1)^n\)
두 수열의 합은 실제로
\[ a_n+b_n=(-1)^n+1-(-1)^n=1 \]
이므로
\[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=1 \]
이다. 그러나 학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) =\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n \]
\[ =(-1)^n+\{1-(-1)^n\}=1 \]
이 식은 오답이다. \((-1)^n\)은 \(n\)이 짝수일 때 \(1\), 홀수일 때 \(-1\)이므로 하나의 값으로 수렴하지 않는다. \(b_n\) 역시 짝수일 때 \(0\), 홀수일 때 \(2\)가 되어 수렴하지 않는다. 따라서
\[ \lim a_n+\lim b_n \]
자체가 정의되지 않는다. 합의 극한이 존재하더라도 각 극한이 반드시 존재하는 것은 아니다. 극한의 합 법칙은 각 극한이 유한하게 존재할 때만 사용할 수 있다.
오류 줄을 지우고 조건부터 다시 세운 과정
- 틀린 줄 표시: \(\lim(a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n\)를 수렴 여부 확인 없이 사용했다.
- 조건 확인: \(a_n=(-1)^n\)은 \(1,-1,1,-1,\ldots\)로 진동하므로 발산한다. \(b_n=1-(-1)^n\)은 \(0,2,0,2,\ldots\)로 진동하므로 발산한다.
- 식 수정: 극한의 합 법칙을 적용하지 않고 항을 먼저 정리한다.
\[ a_n+b_n=(-1)^n+1-(-1)^n=1 \]
따라서
\[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) =\lim_{n\to\infty}1=1 \]
학생은 수정한 뒤 \(n=2,3,4,5\)를 대입해 합이 각각 \(1\)인지 확인했다. 또한 \(a_n\)과 \(b_n\)의 항은 따로 일정해지지 않지만 두 항의 변동이 서로 소거된다는 점을 그래프로 확인했다. 이렇게 계산 전 수렴 여부를 적어 두어야 같은 오류가 반복되지 않는다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제로 수정 기준을 확인했다.
\[ c_n=3+\frac{(-1)^n}{n},\qquad d_n=2-\frac{(-1)^n}{n} \]
\(\frac{(-1)^n}{n}\to0\)이므로
\[ \lim_{n\to\infty}c_n=3,\qquad \lim_{n\to\infty}d_n=2 \]
두 극한이 모두 존재한다. 따라서 합의 극한 법칙을 적용할 수 있다.
\[ \lim_{n\to\infty}(c_n+d_n) =\lim_{n\to\infty}\left(5+\frac{(-1)^n}{n}-\frac{(-1)^n}{n}\right) =\lim_{n\to\infty}5=5 \]
초항을 대입하면 \(c_1+d_1=2+3=5\), \(c_2+d_2=\frac{7}{2}+\frac{5}{2}=6\)이지만, 일반항에서는 두 변동항이 소거되어 합이 항상 \(5\)임을 확인할 수 있다. 숫자와 부호가 바뀌어도 먼저 수렴조건을 확인한 뒤 극한의 기본 성질을 적용하는 것이 핵심이다.