홍제동고2수학과외, 지수부등식에서 그래프의 단조성과 성립 범위 확인하기
방과 후 통학으로 자습 시간이 짧은 상황에서는 풀이 첫 줄에 적은 조건 하나가 답 전체를 좌우할 수 있다. 서대문구 통학권의 고등학교 수학 프린트를 정리하던 중, 다음 부등식에서 그래프의 교점만 찾고 구간별 대소 관계를 표시하지 않은 풀이가 발견되었다.
교점만으로는 부등식의 해가 결정되지 않는다
문제: \(2^x>x+1\)을 풀어라.
학생의 첫 풀이는 다음과 같았다.
\[ 2^x=x+1 \Rightarrow x=0,\ 1 \]
여기서 곧바로 “따라서 해는 \(x<0\) 또는 \(x>1\)”이라고 적었다. 교점 \(x=0,1\) 자체는 맞지만, 두 그래프 중 어느 쪽이 위에 있는지 확인하지 않았으므로 결론의 근거가 빠져 있다. 특히 \(2^x\)와 \(x+1\)이 모두 증가한다는 사실만으로는 두 함수의 대소 관계를 정할 수 없다.
\(2^x\)의 밑 조건과 구간별 위치를 함께 표시하기
지수함수 \(y=2^x\)는 밑 \(2>1\)이므로 전체 실수 범위에서 증가한다. 직선 \(y=x+1\)도 증가하지만, 부등식에서는 증가 여부만 보지 말고 교점 사이와 바깥 구간에서 실제 위치를 확인해야 한다.
교점은
\[ 2^0=1=0+1,\qquad 2^1=2=1+1 \]
이다. 이제 구간별로 시험값을 대입한다.
- \(x=-1\)일 때 \(2^{-1}=\frac12\), \(x+1=0\)이므로 \(2^x>x+1\)
- \(x=\frac12\)일 때 \(\sqrt2\approx1.414\), \(x+1=1.5\)이므로 \(2^x<x+1\)
- \(x=2\)일 때 \(2^2=4\), \(x+1=3\)이므로 \(2^x>x+1\)
따라서 수정된 풀이에서는 부등호가 다음처럼 달라진다.
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,1) & (1,\infty)\\ \hline 2^x-(x+1) & + & - & + \end{array} \]
\[ \boxed{x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty)} \]
교점에서는 등호가 성립하므로 엄격한 부등식 \(2^x>x+1\)의 해에 \(0,1\)은 포함되지 않는다. 이 과정을 통해 밑 \(2>1\), 교점, 구간별 대소 관계를 연결해서 판단해야 한다는 점을 확인한다.
풀이 위에 밑과 시험 구간을 직접 남기는 훈련
같은 유형을 풀 때는 식만 변형하지 않고 다음 세 줄을 먼저 적는다.
\[ \text{밑 }2>1\Rightarrow y=2^x\text{는 증가} \]
\[ 2^x=x+1\text{의 교점}:x=0,1 \]
\[ -1,\ \frac12,\ 2\text{를 대입하여 구간별 부호 확인} \]
이렇게 하면 교점의 왼쪽, 두 교점 사이, 오른쪽을 빠뜨리지 않고 각 구간에서 어느 그래프가 위에 있는지 답안에 남길 수 있다.
밑이 \(1\)보다 작은 문제에서 판단을 바꿀 수 있는가
다음 두 문제 중 그래프의 단조성을 먼저 판별해야 하는 문제를 고른 뒤 풀어 본다.
\[ \text{(가)}\quad 3^x\le x+2 \qquad \text{(나)}\quad \left(\frac12\right)^x\le x+2 \]
두 식 모두 지수함수와 직선의 비교이지만, (가)는 밑이 \(3>1\)이고 (나)는 \(0<\frac12<1\)이므로 지수함수의 증가·감소 방향이 다르다. 먼저 밑의 범위를 표시한 뒤 교점을 찾고, 각 구간에서 시험값을 대입해야 한다. 단조성의 방향을 확인하지 않은 채 앞 문제의 구간 판단을 그대로 옮기면 새로운 조건에서 오류가 다시 발생한다.