도함수의 부호로 극대·극소를 판별하는 고3 수학 학습
홍제동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 명지고등학교·이화여자대학교사범대학부속이화금란고등학교·가재울고등학교·중앙여자고등학교·인창고등학교 등 서대문구 내 학교의 통학권을 참고해 학습 동선을 설정했다. 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 계산보다 임계점과 주변 구간의 관계를 먼저 점검하도록 했다.
f'(x)=0만으로 극값을 정할 수 없는 이유
학생은 다음 함수의 극대와 극소를 구하면서 도함수가 0이 되는 점을 찾자마자 결론을 내렸다.
f(x)=x3-3x+2
먼저 도함수는
f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)
이므로 임계점은 x=-1, x=1이다. 그러나 학생은 답안에 다음과 같이 적었다.
f'(-1)=0, f'(1)=0이므로 x=-1에서 극대, x=1에서 극대이다.
이 답은 틀렸다. f'(a)=0은 극대나 극소의 필요조건이 될 수 있지만, 그 자체만으로 극대라고 단정하는 충분조건은 아니다. 실제로 f'(x)의 부호를 구간별로 확인해야 한다.
- x<-1에서는 f'(x)>0
- -1<x<1에서는 f'(x)<0
- x>1에서는 f'(x)>0
따라서 x=-1에서는 도함수의 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 극대이고, x=1에서는 음수에서 양수로 바뀌므로 극소이다.
함숫값은
f(-1)=-1+3+2=4, f(1)=1-3+2=0
이므로 극대는 (-1, 4), 극소는 (1, 0)이다.
오답 줄부터 다시 쓰는 점검 과정
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, ‘f'(a)=0’과 ‘부호 변화’를 서로 다른 조건으로 구분했다. 이어서 수직선에 -1과 1을 표시한 뒤 각 구간에서 인수의 부호를 대입했다.
예를 들어 x=0을 대입하면 f'(0)=-3<0이고, x=2를 대입하면 f'(2)=9>0이다. 따라서 x=1의 좌우에서 감소하다 증가하는 구조가 확인된다. 마지막으로 원래 함수에 대입해 f(1)=0을 확인하고, x=1 부근에서 f(0)=2, f(2)=4이므로 실제로 f(1)이 주변 값보다 작은지도 검산했다.
구간 조건이 붙으면 끝점도 따로 확인하기
극값 문제에서는 임계점만 보는 것도 위험하다. 예를 들어 위 함수를 구간 [-2, 0]에서 조사하면 임계점 x=-1과 양 끝점 x=-2, x=0을 모두 비교해야 한다.
f(-2)=-8+6+2=0, f(-1)=4, f(0)=2
따라서 이 구간에서 최댓값은 4, 최솟값은 0이다. x=-1은 도함수의 부호 변화로 극대가 되고, 구간 전체의 최솟값은 끝점 x=-2에서 나타난다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제는 앞의 식과 다른 함수와 구간으로 확인했다.
g(x)=x4-4x2+1을 구간 [-1, 2]에서 조사하라.
g'(x)=4x3-8x=4x(x2-2)이므로 임계점은 x=0, ±√2이다. 구간 [-1, 2] 안에는 x=0, √2만 포함된다.
- -1<x<0에서 g'(x)>0
- 0<x<√2에서 g'(x)<0
- √2<x<2에서 g'(x)>0
그러므로 x=0은 극대, x=√2는 극소이다. 끝점까지 계산하면
g(-1)=-2, g(0)=1, g(√2)=-3, g(2)=1
구간 [-1, 2]에서 최댓값은 1, 최솟값은 -3이다. 학생은 이번에는 f'(x)=0이라는 사실만으로 결론을 내리지 않고, 임계점의 구간 포함 여부와 도함수 부호 변화를 순서대로 확인했다.