홍제동고1수학과외, 원의 일반형에서 완전제곱으로 중심 찾기
원의 식 x²+y²+Dx+Ey+F=0을 완전제곱식으로 바꾸면 좌표평면에서 중심과 반지름을 읽을 수 있다. 이때 원에는 포물선처럼 ‘꼭짓점’이 없으므로, 이 유형에서 찾아야 하는 값은 원의 중심과 반지름이다.
상수항을 그대로 둔 채 멈춘 풀이
서대문구 내 참고 학교의 프린트를 풀던 학생이 다음 식을 정리했다.
x²+y²-6x+8y-11=0
(x-3)²+(y+4)²=11
학생은 x부분과 y부분을 각각 보정하지 않고 한 줄에 묶어 정리했다. 풀이 첫 줄에 ‘일반형을 완전제곱식으로 고쳐 중심 찾기’라는 판단도 적지 않아, 왜 3과 4를 더했는지 풀이 과정에서 확인하기 어려웠다.
더한 수는 반드시 식 전체에서 보정한다
먼저 상수항을 오른쪽으로 옮긴다.
x²-6x+y²+8y=11
x부분에서는 (-6÷2)²=9, y부분에서는 (8÷2)²=16을 더해야 한다. 두 수를 왼쪽에 더한 만큼 오른쪽에도 함께 더하면
(x-3)²-9+(y+4)²-16=11
따라서
(x-3)²+(y+4)²=36
이 원의 중심은 (3, -4), 반지름은 6이다. 학생의 식에서 오른쪽을 11로 둔 것은 9와 16을 보정하지 않은 오류다. 실제로 잘못된 식은 반지름을 √11로 만들며, 원래 식과 같은 도형을 나타내지 않는다.
두 부분을 따로 표시해야 하는 이유
- x²-6x는 (x-3)²-9로 바뀐다.
- y²+8y는 (y+4)²-16으로 바뀐다.
- 빠져나온 -9과 -16을 합쳐 오른쪽 상수에 반영한다.
이 과정을 쓰면 중심의 x좌표는 x괄호의 부호를 바꾸어 3, y좌표는 y괄호의 부호를 바꾸어 -4가 된다는 사실도 분명해진다. 이후 원래 식에 중심을 대입하면 9+16-18-32-11=-36이므로 중심은 원 위의 점이 아니며, 반지름을 구한 결과와도 모순되지 않는다.
표현이 바뀐 자료에서 판단을 옮겨 보기
방과 후 이동 뒤 확보한 짧은 자습 시간에는 같은 식을 반복하지 않고, 단위가 달라진 자료를 제시한다. 예를 들어 표의 가로축이 ‘cm’, 세로축이 ‘cm²’로 바뀌었다면 제목과 단위를 먼저 읽게 한다. 길이와 넓이를 같은 종류의 값처럼 더하지 않는지, 전체와 부분의 관계를 거꾸로 해석하지 않는지 확인한 뒤 풀이 순서를 스스로 조정했는지 기록한다.
이 검증에서도 학생이 먼저 자료의 제목과 단위를 확인하고, 그다음 필요한 식을 세우는지 살핀다. 원의 식에서는 x부분과 y부분을 따로 완전제곱한 뒤 추가한 수를 전체 식에서 보정하는 행동이 다시 나타나야 한다. 정답만 맞고 이 확인 과정이 빠졌다면 학습 기록에는 재확인 항목으로 남긴다.
짧은 풀이 기록으로 남길 문장
“x, y 부분을 각각 완전제곱하고, 더한 9와 16을 오른쪽에도 보정하여 중심과 반지름을 읽는다.”
이 문장을 풀이 전에 적는 습관은 장식이 아니라 계산 순서를 고정하는 장치다. 특히 학교 프린트와 교과서 문제의 표현이 달라져도, 두 보정값을 빠뜨리지 않고 식 전체에 반영하는지 확인할 수 있다.