상록구고2수학과외

상록구 고2수학과외: 귀납가정을 식으로 남겨야 하는 이유

방과 후 부곡동이나 본오동에서 이동한 뒤 확보한 자습시간에 수학 서술형을 점검하다 보면, 계산은 맞는데 증명 과정의 한 줄이 비어 있는 경우가 있다. 상록고등학교, 성안고등학교, 송호고등학교 등 학교별 프린트에서 자주 다뤄지는 수학적 귀납법도 이 지점에서 풀이의 완성도가 갈린다.

“k일 때 성립한다고 가정한다”만 적은 풀이

다음 명제를 증명한다고 하자.

모든 자연수 n에 대하여

1+3+5+⋯+(2n-1)=n²

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

“n=1일 때 성립한다. k일 때 성립한다고 가정하면 k+1일 때도 성립한다.”

이 문장은 귀납가정의 내용을 식으로 제시하지 않았기 때문에 다음 계산의 근거가 비어 있다. ‘가정한다’는 말은 귀납가정의 뜻을 설명한 것이 아니라, 실제로 사용할 식을 생략한 것이다.

귀납가정은 반드시 이 식이어야 한다

먼저 n=1일 때

1=1²

이므로 명제는 성립한다. 이제 k에 대하여 성립한다고 가정하면, 그 내용은 다음과 같다.

1+3+5+⋯+(2k-1)=k²

이 식이 있어야 왼쪽의 앞부분을 k²으로 바꿀 수 있다. 따라서 k+1일 때는 마지막 항이 2(k+1)-1=2k+1이므로

1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)

=k²+2k+1

=(k+1)²

이 된다. 여기서 첫 번째 등호의 근거가 바로 귀납가정이다. 귀납가정을 적지 않으면 k²으로 바꾸는 순간이 설명되지 않는다.

한 줄을 고칠 때도 기호의 뜻부터 말하기

재풀이에서는 “k일 때 성립한다고 가정한다”를 그대로 쓰지 않고, 먼저 다음처럼 말하게 한다.

“귀납가정은 첫 k개의 홀수를 더한 값이 k²이라는 뜻이다.”

그 설명에 맞춰 답안의 한 줄을

1+3+5+⋯+(2k-1)=k²이라고 하자.

로 바꾼다. 이후 k+1의 식에서 앞부분을 실제로 표시하고, 그 식을 사용해 다음 줄로 넘어가는지 확인한다. 이렇게 하면 귀납가정과 귀납단계가 계산 줄에서 연결된다.

(k+1)²에서 거꾸로 읽는 검증

표현 순서를 바꾼 문제도 확인한다. 다음 식을 보고 어떤 귀납가정이 필요한지 먼저 찾아보자.

(k+1)²=k²+2k+1

이 식만 보고 바로 결론을 적는 것이 아니라, k+1번째 항이 2k+1이라는 점과 앞의 합이 k²이라는 점을 각각 찾아야 한다. 따라서 검증 답안에는

1+3+⋯+(2k-1)=k²

를 먼저 적고,

1+3+⋯+(2k-1)+(2k+1)=k²2

처럼 연결해야 한다. 새로운 식에서도 ‘가정한다’는 표현만 남기지 않고, 귀납가정의 내용과 사용한 위치를 모두 표시하는지가 확인할 기준이다.