상록구고1수학과외, 역과 원명제를 뒤섞지 않는 명제 판단
상록고등학교나 성안고등학교 등 상록구의 학교 프린트를 공부할 때 명제 문제에서 자주 나타나는 오류는 조건을 읽기 전에 익숙한 공식을 먼저 적는 것이다. 부곡동·본오동에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 문제를 풀더라도, 명제에서는 계산보다 조건과 결론의 방향을 먼저 확인해야 한다.
“역이 참이면 원명제도 참”이라는 판단이 왜 틀리는가
다음 원명제를 보자.
실수 x가 2이면 x2 = 4이다.
이를 기호로 쓰면 P는 “x = 2”, Q는 “x2 = 4”이므로 원명제는 P이면 Q이다. 역은 조건과 결론을 바꾸어 x2 = 4이면 x = 2가 된다.
역은 참이 아니다. x = -2도 x2 = 4를 만족하기 때문이다. 반대로 어떤 문제에서는 역이 우연히 참으로 확인되더라도, 그것만으로 원명제의 참·거짓을 결정할 수 없다. 원명제와 역은 서로 다른 두 명제이므로 각각 따로 판단해야 한다.
공식부터 적은 답안에서 빠진 한 줄
학교 문제지에서 “두 명제 p, q의 참·거짓을 판단하라”는 문항을 풀던 학생은 조건에 밑줄을 긋지 않고 최근에 연습한 대우의 공식을 먼저 적었다. 이어 역을 확인한 뒤 참이라고 표시하고, 그 결과 원명제도 참이라고 결론 내렸다. 답안에는 원명제의 조건과 결론을 실제 값에 대입해 확인한 과정이 없었다.
이 장면은 역의 의미를 전혀 모르는 상태라기보다, 현재 문제의 명제 방향을 확인하기 전에 익숙한 풀이 절차를 끼워 넣는 상태에 가깝다. 특히 “역이 참이라고 원명제도 참”이라고 판단하는 단계가 빠진 위치를 표시하지 않아, 다음 줄의 계산만 고치려 했다.
조건과 결론을 도형 요소에 먼저 연결하기
도형 명제에서도 같은 오류가 생긴다. 예를 들어 다음 명제를 살펴보자.
사각형이 정사각형이면 두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이다.
원명제의 조건은 ‘정사각형’이고 결론은 ‘대각선의 길이가 같고 서로 수직’이라는 도형의 성질이다. 반대로 결론만 확인했다고 해서 그 사각형이 반드시 정사각형이라고 단정할 수는 없다. 마름모는 두 대각선이 수직일 수 있지만, 대각선의 길이가 서로 다를 수 있어 정사각형이라고 할 수 없다.
따라서 도형 문제에 7cm 같은 길이가 추가로 주어져도 먼저 “어떤 도형 요소가 주어진 조건에 대응하는가”를 적는다. 길이 공식이나 피타고라스 정리를 바로 쓰는 것이 아니라, 조건이 원명제인지 역인지부터 구분해야 한다.
빠진 위치에서 답안을 다시 세우는 방법
오답을 고칠 때는 다음과 같이 역을 확인한 바로 다음 줄에 원명제를 분리해 쓴다.
- 원명제: x = 2이면 x2 = 4이다.
- 역: x2 = 4이면 x = 2이다.
- 역의 반례: x = -2이면 x2 = 4이지만 x ≠ 2이다.
이렇게 쓰면 역의 참·거짓과 원명제의 참·거짓을 한 문장으로 합치는 실수를 막을 수 있다. 원명제는 x = 2를 대입하여 4 = 4이므로 참이고, 역은 -2라는 반례가 있으므로 거짓이다. 두 판단의 근거가 서로 다르다는 점까지 답안에 남겨야 한다.
불필요한 숫자가 들어간 새 문제에서 순서 확인하기
검증 문제로 “실수 t에 대하여 t = -3이면 t2 = 9이다. 이 명제와 역의 참·거짓을 판단하라”를 제시한다. 문제에 사각형의 한 변이 7cm라는 불필요한 정보가 함께 적혀 있어도, 먼저 연결할 대상은 t와 t2뿐이다.
원명제는 (-3)2 = 9이므로 참이다. 역은 t2 = 9이면 t = -3이라는 명제인데, t = 3도 만족하므로 거짓이다. 학생이 숫자 7을 계산에 넣지 않고 조건과 결론을 먼저 연결하며, 역을 확인한 뒤에도 원명제를 별도로 판단한다면 이 유형을 새로운 조건에서 스스로 적용한 것으로 볼 수 있다.
통학 뒤 짧은 자습 시간에 남길 확인 문장
월피동이나 성포동에서 이동한 뒤 학교 프린트를 짧게 복습할 때는 문제마다 “지금 확인하는 것은 원명제인가, 역인가?”를 답안 여백에 적어 본다. 역의 결과를 얻었다는 이유로 원명제까지 결정하지 않고, 조건과 결론을 각각 원래 방향으로 대입했는지가 확인되어야 한다.