상록구 고3수학과외에서 확인한 벡터 뺄셈의 한 단계 오류
부곡동에서 학교 수업을 마친 뒤 본오동이나 성포동 쪽으로 이동해 자습하는 학생은 긴 풀이보다 한 줄씩 검산하는 습관을 만드는 것이 효율적이다. 상록고등학교, 성안고등학교, 송호고등학교 등 상록구의 일반고 학생을 지도할 때도 통학 뒤 확보한 짧은 시간에 벡터의 성분과 방향을 분리해 확인하도록 했다.
정답 표시만 고친 것이 아니라, 틀린 줄을 찾는다
문제에서 점 \(A(2,-1)\), \(B(-3,4)\)가 주어졌을 때 \(\overrightarrow{AB}\)를 구하는 과정은
\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(-3,4)-(2,-1)=(-5,5) \]
이어야 한다. 그런데 학생은 앞부분에서 점의 좌표를 올바르게 쓴 뒤 다음과 같이 계산했다.
\[ (-3,4)-(2,-1)=(-3-2,\;4-1)=(-5,3) \]
이 식은 틀린 오답이다. 두 번째 성분에서 \(4-(-1)\)을 계산해야 하는데, \(-1\)의 부호를 빠뜨려 \(4-1\)로 바꾸었기 때문이다. 벡터 뺄셈은 좌표 전체를 한꺼번에 처리하는 것이 아니라 각 성분끼리 같은 위치에서 계산해야 한다.
- 첫 번째 성분: \(-3-2=-5\)
- 두 번째 성분: \(4-(-1)=4+1=5\)
따라서 정확한 결과는
\[ \overrightarrow{AB}=(-5,5) \]
이다. 학생에게는 답안의 마지막 정답 표시만 지우게 하지 않고, \((-5,3)\)이 나온 줄에 표시한 뒤 “두 번째 성분의 기준점 좌표가 음수인가?”를 먼저 묻게 했다. 그 다음 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어
\[ (-3,4)-(2,-1)=(-3,4)+(-2,1)=(-5,5) \]
로 다시 정리했다.
벡터의 방향은 끝점 순서로 검산한다
성분 계산 후에는 방향도 확인했다. \(\overrightarrow{AB}\)는 \(A\)에서 \(B\)로 가는 벡터이므로
\[ A+\overrightarrow{AB}=(2,-1)+(-5,5)=(-3,4)=B \]
가 되어야 한다. 오답 \((-5,3)\)을 대입하면
\[ (2,-1)+(-5,3)=(-3,2) \]
가 되어 \(B(-3,4)\)에 도착하지 않는다. 이 역계산으로도 오답임을 바로 확인할 수 있다. 또한 선분 \(\overline{AB}\)의 양 끝점은 \(A\), \(B\)이므로 끝점 포함 여부를 답안 옆에 \([A,B]\)로 표시하고, 방향을 묻는 벡터와 단순한 선분을 구분하게 했다.
조건을 바꾼 새 문제로 독립 검증
같은 좌표를 반복하지 않고, 기준점을 바꾼 문제를 제시했다. \(C(-4,2)\), \(D(1,-6)\)일 때 \(\overrightarrow{DC}\)를 구하면 끝점 \(C\)에서 시작점 \(D\)를 빼야 하므로
\[ \overrightarrow{DC}=C-D=(-4,2)-(1,-6)=(-5,8) \]
이다. 성분을 나누어 계산하면
- \(-4-1=-5\)
- \(2-(-6)=8\)
이고, 역검산은
\[ D+\overrightarrow{DC}=(1,-6)+(-5,8)=(-4,2)=C \]
이다. 학생은 이 문제에서 뺄셈을 성분별로 처리하고, 시작점과 끝점의 순서를 확인한 뒤 역계산까지 완료했다. 벡터의 방향을 반대로 쓰면 \(\overrightarrow{CD}=(5,-8)\)이므로, 기준점 이동에 따라 부호가 모두 바뀐다는 점도 함께 확인했다.