본오동고2수학과외

본오동고2수학과외, 귀납가정을 k+1의 식으로 이어 쓰는 연습

본오동의 상록고등학교, 안산동산고등학교, 안산디자인문화고등학교처럼 학교별 과제와 시험 준비 순서가 다르더라도 수학적 귀납법에서는 한 가지 장면이 자주 드러난다. 학생이 귀납가정을 적은 뒤 다음 항을 더하는 계산을 생략하고, “k일 때 성립한다고 가정한다”는 문장만 남기는 경우다. 본오주공아파트나 본오한양아파트 생활권에서 귀가 후 제한된 시간에 풀이를 정리할 때도 이 연결식을 답안에 남기는 습관이 필요하다.

“가정한다”만 적고 다음 항을 잃어버린 풀이

다음 명제를 증명한다고 하자.

1+3+5+⋯+(2n-1)=n²

학생의 답안에는 다음처럼 적혀 있었다.

n=k일 때 성립한다고 가정한다.
따라서 n=k+1일 때도 성립한다.

이것은 귀납가정의 내용이 식으로 나타나지 않았고, k+1일 때 추가되는 항도 확인하지 않은 답이다. 정확한 귀납가정은

1+3+5+⋯+(2k-1)=k²

이다. 여기서 k+1번째 항은 2(k+1)-1=2k+1이므로, 귀납가정을 사용해

1+3+⋯+(2k-1)+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²

을 써야 한다. 계수 2와 상수항 -1이 다음 항에서 어떻게 바뀌는지 확인하지 않으면 귀납가정과 귀납결론 사이가 끊긴다.

k의 식을 그대로 옮기는 것이 아니라 새 항을 계산하기

훈련할 때는 답안에 귀납가정 한 줄을 먼저 고정한다.

귀납가정: 1+3+⋯+(2k-1)=k²

그 오른쪽에 k+1번째 항을 따로 적는다.

새 항: 2(k+1)-1=2k+1

그 뒤 두 줄을 연결해 계산한다. 이 과정을 통해 학생은 “가정한다”라는 표현에 머물지 않고, 계수와 부호가 달라져도 k의 식을 실제 계산에 대입하게 된다. 첫째항은 1이므로 n=1에서 좌변과 우변이 모두 1이라는 사실도 마지막에 확인한다.

계수와 상수항을 바꾼 서술형 검증

다음 명제를 선택지 없이 증명하게 한다.

2+5+8+⋯+(3n-1)=n(3n+1)/2

먼저 n=1이면 좌변은 2이고 우변은 1×4/2=2이다. 이제 k일 때

2+5+⋯+(3k-1)=k(3k+1)/2

라고 적은 뒤, 새 항을 계산해야 한다.

3(k+1)-1=3k+2

따라서

k(3k+1)/2+(3k+2) =(3k²+7k+4)/2

가 된다. 그런데 이 식은 제시된 우변 (k+1)(3(k+1)+1)/2=(k+1)(3k+4)/2=(3k²+7k+4)/2와 같으므로 k+1에서도 성립한다. 계수 3과 상수항 -1이 새 항에서 3k+2로 바뀌는 과정을 남겨야 한다.

마지막으로 부호와 표현을 다시 바꾼 명제를 제시한다.

3+7+11+⋯+(4n-1)=n(2n+1)

학생이 귀납가정 3+7+⋯+(4k-1)=k(2k+1)을 직접 쓰고, 새 항 4(k+1)-1=4k+3을 더해

k(2k+1)+4k+3=2k²+5k+3=(k+1)(2k+3)

까지 전개하는지 확인한다. 정답식만 맞추는 것이 아니라 귀납가정, 새 항, k+1의 우변을 모두 서술하면 변형된 계수와 표현에서도 같은 판단을 유지한 것으로 볼 수 있다.