본오동고1수학과외: 가정을 통과한 반례로 명제 판단하기
본오동의 학교 프린트에서 다음 명제를 만났다고 하자.
두 정수 a, b에 대하여 a+b가 짝수이면 a와 b는 모두 짝수이다.
이 명제는 모든 정수 a, b에 대해 성립한다고 주장한다. 따라서 거짓임을 보이려면 아무 숫자나 고르는 것이 아니라, 먼저 가정인 a+b가 짝수라는 조건을 만족시킨 뒤 결론인 “a와 b가 모두 짝수”를 깨뜨려야 한다.
반례 후보가 조건을 통과했는지부터 확인하기
학생은 a=1, b=2를 적고 “둘 다 짝수가 아니므로 반례”라고 답했다. 그러나 이 값에서는 a+b=3으로 홀수이다. 명제의 가정을 만족하지 않으므로 반례가 될 수 없다.
가정을 만족하는 후보로 a=1, b=3을 선택하면
a+b=1+3=4이므로 가정은 참이다. 하지만 a=1, b=3은 모두 홀수이므로 결론은 거짓이다. 따라서 이 두 정수는 명제를 거짓으로 만드는 반례다.
- 가정 확인: a+b가 짝수인가?
- 결론 확인: a, b가 모두 짝수인가?
- 가정은 참이고 결론은 거짓인 경우인가?
현재 막힘은 숫자 선택보다 명제의 구조에 있다
학생은 반례를 찾을 때 결론만 보고 “짝수가 아닌 수”를 골랐다. 그래서 가정 확인 없이 다음 줄로 넘어갔다. 이는 반례의 조건을 부분적으로만 사용하고 있는 상태다.
조건명제 “P이면 Q이다”가 거짓이 되려면 P가 참이고 Q가 거짓이어야 한다. 여기서 P는 “a+b가 짝수이다”, Q는 “a, b가 모두 짝수이다”이다. P가 거짓인 숫자는 결론이 틀렸더라도 명제의 반례가 아니다.
답안에 남겨야 할 반례의 계산
학교 프린트의 서술형 답안은 다음처럼 작성할 수 있다.
a=1, b=3으로 두면 a+b=4는 짝수이므로 가정을 만족한다. 그러나 a, b는 모두 홀수가 되어 결론을 만족하지 않는다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다.
이 답안에는 숫자만 적는 것이 아니라 가정의 확인과 결론의 부정을 함께 남긴다. 반례 하나가 발견되면 모든 경우를 조사하지 않아도 전칭 명제는 거짓이라고 판단할 수 있다.
표현이 달라져도 같은 판단을 꺼내기
귀가 후 본오주공아파트에서 과제를 정리할 때는 교과서 문장과 학교 프린트의 표현을 나란히 바꾸어 읽어 보게 한다. 예를 들어 다음 자료가 주어졌다고 하자.
정수 m, n에 대해 m+n이 홀수이면 m, n 중 하나만 홀수이다.
이 명제에서 학생이 m=2, n=5를 고르면 m+n=7은 홀수이고, 실제로 하나만 홀수이므로 반례가 아니다. 반례를 찾는 문제가 아니라 명제가 참인지 판단하는 문제라면, 홀수와 짝수의 합의 관계를 이용해 결론이 가정을 만족하는지 설명해야 한다.
반대로 “m+n이 홀수이면 m, n이 모두 홀수이다”라고 바뀌면 m=2, n=5가 가정을 만족하면서 결론을 깨뜨리는 반례가 된다. 문장 속 조건과 결론의 방향이 바뀌면 같은 숫자도 역할이 달라진다.
새 자료에서 불필요한 정보를 걸러내는 확인
수행평가 피드백을 반영한 확인 문제로 다음 문장제를 제시한다.
어떤 두 정수의 합은 짝수이고, 두 수의 차는 6이다. 두 수가 모두 짝수라는 명제의 반례를 찾아라. 두 수의 곱은 15라고도 기록되어 있다.
학생이 먼저 볼 조건은 합이 짝수라는 가정이다. a=1, b=3은 합은 짝수지만 차와 곱 조건을 만족하지 않는다. 이 문제에서 추가된 차와 곱이 반례의 허용 조건인지, 단지 자료에 덧붙은 정보인지 구분해야 한다. 명제 자체가 “합이 짝수이면 모두 짝수”인지, 모든 제시 조건을 만족하는 수를 찾으라는 문제인지에 따라 판단 범위가 달라진다.
새 계산·자료·설명 문제에서 학생이 먼저 명제의 가정을 표시하고, 선택한 값이 그 가정을 만족하는지 계산한 뒤, 결론이 거짓임을 문장으로 적는다면 반례 절차를 조건이 바뀐 상황에서도 적용한 것으로 볼 수 있다.