본오동 고3수학과외: 기준벡터가 바뀌면 뺄셈의 방향부터 다시 확인하기
본오동주공아파트와 본오한양아파트 생활권에서 귀가 후 수학 과제를 이어 가는 고3 학생은 풀이량보다 문제의 방향과 벡터의 기준을 먼저 확인하는 연습이 필요하다. 본오동에는 상록고등학교, 안산동산고등학교, 안산디자인문화고등학교가 있으며, 성안고등학교와 송호고등학교는 같은 상록구의 참고 학교로 구분된다.
직전 그림의 숫자를 복사한 오답
학생은 점 \(A(1,4)\), \(B(5,1)\), \(C(-2,3)\)에 대해 다음 문제를 풀었다.
\(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)를 구하면
\[ \vec{AB}=(4,-3),\qquad \vec{BC}=(-7,2) \]
이어서 질문의 방향을 바꾼 새 문제에서 \(\vec{AC}+\vec{CB}\)를 묻자, 학생은 직전 식의 숫자 배치를 그대로 옮겨
\[ \vec{AC}+\vec{CB}=(4,-3)+(-7,2)=(-3,-1) \]
이라고 적었다. 이 식은 오답이다. \(\vec{AC}\)는 \(C-A=(-3,-1)\)이고, \(\vec{CB}\)는 \(B-C=(7,-2)\)이므로
\[ \vec{AC}+\vec{CB}=(-3,-1)+(7,-2)=(4,-3)=\vec{AB} \]
가 되어야 한다. 학생의 오류는 덧셈 계산이 아니라 \(\vec{CB}\)를 \(\vec{BC}\)와 같은 방향으로 본 데 있다. 두 벡터는 방향이 반대이므로 \(\vec{CB}=-\vec{BC}\)이다.
틀린 기호에 별표를 붙이고 관계를 복원하기
- 틀린 줄: \(\vec{CB}=(-7,2)\)에 별표를 표시한다.
- 조건 확인: 첫 글자에서 끝 글자로 이동하므로 \(\vec{CB}=B-C\)인지 확인한다.
- 식 수정: \(\vec{CB}=(5,1)-(-2,3)=(7,-2)\)로 고친다.
- 검산: \(\vec{AC}+\vec{CB}=(-3,-1)+(7,-2)=(4,-3)\)이고, 이는 직접 계산한 \(\vec{AB}=(4,-3)\)와 일치한다.
또한 학생은 답만 확인하지 않고 부분합을 실제로 비교했다. \(A\)에서 \(C\)로 이동한 뒤 \(C\)에서 \(B\)로 이동하면 최종 위치는 \(B\)이므로, 두 벡터의 합이 \(A\)에서 \(B\)로 가는 벡터와 같아야 한다. 이 이동 관계를 그림에 화살표로 표시하면 숫자를 복사하는 습관을 줄일 수 있다.
기준벡터를 바꾼 독립 검증
이번에는 \(P(2,-1)\), \(Q(6,2)\), \(R(3,7)\)에서 기준을 바꾸어 \(\vec{PQ}+\vec{RQ}\)를 계산한다.
\[ \vec{PQ}=Q-P=(4,3),\qquad \vec{RQ}=Q-R=(3,-5) \]
따라서
\[ \vec{PQ}+\vec{RQ}=(4,3)+(3,-5)=(7,-2) \]
이다. 여기서 \(\vec{RQ}\)는 \(R\)에서 \(Q\)로 향하므로 \(\vec{QR}=(-3,5)\)와 부호가 반대다. 학생은 새 그림의 기준벡터를 먼저 읽고, 각 벡터를 좌표의 끝점에서 시작점으로 직접 뺀 뒤 덧셈했다. 이전 문제와 달리 두 벡터가 같은 끝점 \(Q\)를 갖지만 연결되는 이동은 아니므로, \(\vec{PQ}+\vec{RQ}\)를 임의로 \(\vec{PR}\)로 바꾸지 않는 것도 함께 확인했다.