분당구 고2수학과외: 등차중항을 항번호와 부분합으로 연결하기
분당대진고등학교, 분당고등학교, 분당중앙고등학교 등 분당구의 고등학교에서는 시험 범위와 수행평가 일정이 겹칠 때 한 개념을 여러 표현으로 적용하는 문제가 자주 학습 과제가 된다. 이번 풀이에서는 등차중항을 단순히 계산하는 데서 멈추지 않고, 항번호와 부분합까지 이어 보았다.
3, x, 11에서 중항을 잘못 읽은 풀이
등차수열에서 연속한 세 항이 3, x, 11이라면 가운데 항은 양끝 항의 산술평균이다.
2x = 3 + 11
x = 7
그런데 풀이 과정에서 x=(11-3)/2=4라고 적으면 안 된다. 이 식은 양끝 항의 차이를 공차 두 칸으로 나눈 값에 해당할 뿐, 가운데 항의 값이 아니다. 등차중항은 양옆 항과의 차이가 같다는 뜻이므로
x-3=11-x
2x=14
라는 관계를 사용해야 한다. 따라서 공차는 7-3=4가 아니라, 실제로 연속한 항 사이의 차이인 7-3=4이다. 이 경우 세 항은 3, 7, 11이므로 공차는 4이다.
중항을 구한 뒤 항번호를 다시 세우는 과정
이제 이 세 항이 각각 a₅=3, a₆=7, a₇=11이라고 하자. 첫째항은 공차를 거꾸로 세어
a₁=a₅-4d=3-4·4=-13
이므로 일반항은
aₙ=-13+4(n-1)=4n-17
이다. 항번호를 확인하지 않고 a₁=3이라고 놓으면 이후 부분합도 전부 달라진다. 부분합은 항의 개수와 첫째항을 함께 사용하므로
S₇ = 7/2(a₁+a₇)
= 7/2(-13+11)
= -7
이 된다. 실제 항을 나열해도 -13,-9,-5,-1,3,7,11이므로 합은 -7이다.
기호의 뜻을 말한 뒤 한 줄만 바꾸기
풀이를 수정할 때는 식을 전부 다시 외우기보다 “중항은 양끝 항의 평균이고, 항번호 사이의 간격만큼 공차를 누적한다”라고 먼저 설명하게 했다. 그 설명에 맞춰 잘못된 한 줄을
x=(11-3)/2
에서
2x=3+11
로 바꾸었다. 이어서 a₅=3, a₇=11처럼 항번호 간격이 두 칸이라면
a₇-a₅=2d
를 적어 8=2d, 따라서 d=4임을 확인한다. 항번호를 식에 표시하는 행동이 부분합 계산의 출발점이 된다.
표기와 단위를 바꾼 확인 문제
마지막에는 같은 숫자를 그대로 반복하지 않고 다음 조건을 제시했다.
등차수열 {bₙ}에서 b₂=3, b₄=y, b₆=11일 때 y와 S₆을 구하여라.
항번호가 두 칸씩 증가하므로
2y=3+11
y=7
또한 b₆-b₂=4d이므로 8=4d, d=2이다. 따라서 b₁=1이고
S₆=6/2(1+11)=36
이다. 숫자 배열이 아니라 항번호와 기호가 바뀌어도 중항의 평균 관계, 공차의 항번호 간격, 부분합 공식을 차례로 유지했는지가 풀이의 확인 기준이 된다.