분당구고1수학과외, 두 원의 중심거리와 반지름 비교하기
원의 방정식이 (x-2)²+(y+1)²=16으로 주어졌을 때 오른쪽의 16을 곧바로 반지름이라고 쓰면 안 된다. 원의 표준형은 (x-a)²+(y-b)²=r²이므로 중심은 (2, -1), 반지름은 √16=4이다. 두 원의 위치 관계를 판단하려면 먼저 각 원의 중심과 반지름을 정확히 읽은 뒤 중심거리와 반지름의 합·차를 비교해야 한다.
오른쪽 숫자와 반지름을 바꾸어 적은 오답
학교 프린트에서 다음 두 원의 관계를 묻는 문제를 풀 때, 학생은 첫 번째 식을 (x-1)²+(y-2)²=25로 읽고 중심을 (1, 2), 반지름을 25라고 적었다. 오른쪽 수는 반지름이 아니라 반지름의 제곱이므로 이 줄은 잘못된 해석이다.
두 번째 원이 (x-7)²+(y-2)²=9라면 두 중심은 C₁=(1, 2), C₂=(7, 2)이고 반지름은 각각 r₁=5, r₂=3이다. 중심거리는
d=√{(7-1)²+(2-2)²}=√36=6
이다. 그런데 r₁+r₂=8, |r₁-r₂|=2이므로 |r₁-r₂|<d<r₁+r₂, 즉 두 원은 두 점에서 만난다. 반지름을 25와 9로 잘못 사용하면 이 비교 자체가 무너진다.
외접과 내접을 가르는 세 가지 등식
두 원의 중심거리를 d라고 할 때, 서로 바깥쪽에서 한 점으로 만나면 외접이므로 d=r₁+r₂이다. 한 원이 다른 원의 안쪽에 있으면서 한 점에서 만나면 내접이므로 d=|r₁-r₂|이다. 두 원이 두 점에서 만나려면 |r₁-r₂|<d<r₁+r₂가 성립한다.
예를 들어 (x+3)²+(y-4)²=4와 (x-2)²+(y-4)²=49를 비교하면 중심은 각각 (-3, 4), (2, 4), 반지름은 2와 7이다. 중심거리는 5이고 |7-2|=5이므로 d=|r₁-r₂|이다. 따라서 작은 원이 큰 원 안에서 한 점에 접하는 내접이다.
풀이 앞뒤에 남겨야 할 판단 문장
현재 학습 상태에서는 식을 계산하는 것보다 원의 방정식에서 r²과 r을 분리하는 기준, 그리고 중심거리와 반지름을 비교하는 기준이 흔들리고 있다. 그래서 풀이를 시작하기 전에 “중심거리 d를 구해 r₁+r₂ 또는 |r₁-r₂|와 비교한다”라고 적는다.
수정한 풀이에서는 (x-1)²+(y-2)²=25를 보고 r₁=√25=5, (x-7)²+(y-2)²=9를 보고 r₂=√9=3이라고 따로 표시한다. 계산 뒤에는 d=6, r₁+r₂=8, |r₁-r₂|=2를 한 줄에 모아 놓고 외접·내접 조건 중 어느 등식이 성립하는지 확인한다. 마지막에도 같은 비교 문장을 다시 읽어, 숫자만 계산하고 관계 판단을 빠뜨리지 않았는지 점검한다.
분당의 학교 일정 속 짧은 검산 기록
분당대진고등학교, 분당고등학교, 분당중앙고등학교 등 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 귀가 후 긴 풀이보다 한 문제의 판단 근거를 남기는 방식이 적절하다. 풀이 전·후에 중심거리와 반지름 비교 문장을 두 번 기록하면, 학교 프린트의 원 방정식 문제를 짧은 시간에도 같은 기준으로 점검할 수 있다. 특정 학교의 출제 경향을 가정하지 않고, 실제 배정된 범위에 포함된 문제만 이 방식으로 복습한다.
조건을 바꾼 도형에서 좌표 순서까지 확인하기
복습을 끝낼 때는 다음 문제로 판단을 확인한다.
(x-4)²+(y+1)²=25와 (x-4)²+(y-5)²=1의 위치 관계를 구하라.
첫 번째 원의 중심은 (4, -1), 반지름은 5이고 두 번째 원의 중심은 (4, 5), 반지름은 1이다. 중심거리는
d=√{(4-4)²+(5-(-1))²}=6
이며 r₁+r₂=6이므로 두 원은 외접한다. 이때 학생이 y좌표를 먼저 읽어 (−1, 4), (5, 4)처럼 적는다면 중심 위치가 달라진다. 따라서 식에서 (x-a)²+(y-b)²의 순서를 유지해 중심을 (a, b)로 기록하고, 실제로 두 중심이 세로 방향으로 6만큼 떨어져 있다는 점까지 확인해야 한다.