분당구 고3 수학과외에서 정규분포표를 다시 읽는 기준 세우기
분당구의 구미동·백현동·서현동 등에서 고3 학생의 학습 계획을 세울 때는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해야 한다. 특정 학교의 출제경향을 일반화하기보다, 그날 배운 정규분포 문제에서 조건을 어떻게 읽고 적용했는지를 확인하는 방식이 효과적이다.
같은 공식보다 먼저 확인할 것
학생은 다음 문제에서 평균과 표준편차를 식에 넣는 것까지는 빠르게 수행했다.
확률변수 X가 정규분포 N(70, 102)을 따를 때, P(60 ≤ X ≤ 85)를 구하여라. 표준정규분포표에서 P(0 ≤ Z ≤ z)의 값을 이용한다.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: P(60 ≤ X ≤ 85) = P(1 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332 - 0.3413 = 0.0919
표준화 자체는 맞다. 그러나 Z = 1과 Z = 1.5 사이의 확률은 표에서 각각 0.3413, 0.4332이므로, 큰 값에서 작은 값을 빼야 한다. 실제 계산은
P(60 ≤ X ≤ 85) = P(1 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332 - 0.3413 = 0.0919
이 계산 결과는 사실 0.0919가 맞지만, 학생의 중간 설명에는 표의 기준이 명확하지 않았다. 표가 P(0 ≤ Z ≤ z)를 나타내는지 확인하지 않은 채 숫자를 반복해서 대입했기 때문에, 표현 순서가 바뀌거나 음수 경계가 등장하면 같은 방식으로 처리하기 어렵다.
조건과 식을 화살표로 연결하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 경계와 평균의 관계를 먼저 확인했다.
- X = 60은 평균 70보다 작으므로 표준화한 값은 음수이다.
- X = 85는 평균 70보다 크므로 표준화한 값은 양수이다.
- 표준화식은 Z = (X - 70) / 10이다.
- 따라서 60 → -1, 85 → 1.5로 연결한다.
그러므로 원래 확률은
P(60 ≤ X ≤ 85) = P(-1 ≤ Z ≤ 1.5)
이다. 표의 값이 P(0 ≤ Z ≤ z)라면 정규분포의 대칭성을 이용하여
P(-1 ≤ Z ≤ 1.5) = P(-1 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1.5)
= 0.3413 + 0.4332 = 0.7745
로 고친다. 수직선에 -1, 0, 1.5를 표시하면 두 구간을 더해야 한다는 사실이 분명해진다. 또한 확률이 0과 1 사이이고, 평균 70을 포함하는 구간이므로 약 0.77이라는 결과도 자연스럽다.
음수 표준화값을 포함한 새 검증
같은 문제를 반복하지 않고 평균과 표준편차를 바꾸어 다음 문항으로 확인했다.
확률변수 Y가 정규분포 N(48, 62)을 따를 때, P(39 ≤ Y ≤ 45)를 구하여라.
표준화하면
P(39 ≤ Y ≤ 45) = P(-1.5 ≤ Z ≤ -0.5)
이다. 음수 값을 그대로 표에서 찾지 않고 대칭성을 적용하면
P(-1.5 ≤ Z ≤ -0.5) = P(0.5 ≤ Z ≤ 1.5)
= 0.4332 - 0.1915 = 0.2417
이다. 학생은 처음에는 음수 표준화값을 표에 직접 대입하려 했지만, 수직선에서 두 경계가 평균 왼쪽에 함께 있다는 점을 확인한 뒤 부호를 바꾸어 대응 구간을 만들었다. 마지막으로 39와 45를 원래 식에 역대입하면 (39-48)/6=-1.5, (45-48)/6=-0.5이므로 표준화도 검산된다.
정규분포표 문제에서는 공식 암기보다 평균을 기준으로 경계의 위치, 표의 확률 기준, 음수 부호와 구간 방향을 차례로 확인해야 한다.