정자동고2수학과외

정자동고2수학과외: 부분합에서 일반항을 찾을 때 항번호를 놓치지 않는 풀이

정자동의 한솔고등학교, 분당중앙고등학교, 늘푸른고등학교, 계원예술고등학교처럼 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 후 문제를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 짧은 풀이 시간에는 공식만 빠르게 적용하다가 첫째항의 조건과 부분합의 시작 번호를 빠뜨리기 쉽다.

S_n−S_n−1은 n≥2에서 먼저 사용한다

다음과 같이 부분합이 주어졌다고 하자.

S_n=n²+2n (n≥1)

학생은 여백에 곧바로

a_n=S_n−S_n−1

이라고 적고, n=1일 때 필요한 S₀이 문제에 주어지지 않았다는 점을 확인하지 않았다. 이 식은 일반적으로 n≥2에서 앞뒤 부분합의 차로 사용하는 관계다. 따라서 먼저

a₁=S₁=1²+2×1=3

을 구해야 한다. 이후 n≥2에서는

a_n=S_n−S_n−1
=(n²+2n)-{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1

이므로 a₂=5이고, a₁=3이다. 결과적으로 a_n=2n+1은 n=1에서도 3을 주지만, 그 식을 얻는 과정에서 첫째항을 별도로 확인했다는 점이 중요하다.

누락된 항번호를 식 옆에 표시하는 계산

풀이할 때는 다음처럼 범위를 남긴다.

a₁=S₁
a_n=S_n−S_n−1 (n≥2)

이 두 줄을 먼저 적으면 첫째항에 S₀을 억지로 대입하는 실수를 막을 수 있다. 또한 주어진 부분합이 S_n=n²−4n이라면

a₁=S₁=−3,
a_n=(n²−4n)-{(n−1)²−4(n−1)}=2n−5 (n≥2)

처럼 계수와 부호가 바뀌어도 같은 판단을 적용한다. 부분합의 식만 보고 첫째항부터 차분식을 기계적으로 쓰지 않고, 항번호 조건을 옆에 적은 뒤 계산하는 방식이다.

합의 양 끝 번호를 바꾼 확인 문제

이번에는 a_n=3n−2일 때 다음 합을 계산한다.

∑_n=2⁵(3n−2)

끝점 2와 5가 모두 포함되므로 항은 a₂, a₃, a₄, a₅이다.

4+7+10+13=34

반대로 시작 번호가 1이면 a₁=1까지 포함되어 합은 35가 된다. 따라서 열린 구간처럼 끝항을 임의로 제외하지 말고, 시그마의 아래·위 숫자가 실제 항번호의 포함 범위를 결정하는지 확인해야 한다.

정자동 생활권에서 학교와 귀가 동선이 다른 학생이라도 이 풀이에서는 먼저 a₁=S₁을 적고, 차분식에는 n≥2를 표시한 뒤, 마지막으로 합의 시작항과 끝항을 대조한다. 계수와 부호가 달라진 문제에서도 이 세 조건이 남아 있으면 부분합과 일반항의 연결을 안정적으로 확인할 수 있다.