정자동고3수학과외

정자동 고3수학과외: 평균과 표준편차가 바뀐 정규분포 해석

정자동에는 한솔고등학교, 분당중앙고등학교, 늘푸른고등학교, 계원예술고등학교가 있고, 같은 분당구의 태원고등학교는 별도 참고 학교로 구분된다. 정자뜰태영데시앙2단지나 동양고속성지아파트처럼 생활 위치가 다르면 이동 후 공부 가능한 시간이 달라질 수 있어, 수업에서는 학생이 혼자 조건을 읽고 끝까지 해결하는 풀이 리듬을 확인했다.

이전 그래프를 그대로 옮긴 오답

학생은 먼저 확률변수 X가 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따른다고 할 때 다음을 계산했다.

X ~ N(70, 10²), P(60 ≤ X ≤ 80)

표준화하면

P(60 ≤ X ≤ 80)=P(-1≤Z≤1)=Φ(1)-Φ(-1)≈0.6826

그런데 조건을 Y ~ N(75, 5²), P(65≤Y≤90)으로 바꾼 뒤 학생은 이전 그래프를 그대로 그리고, 오답식으로 다음과 같이 적었다.

P(65≤Y≤90)=P(-1≤Z≤1)≈0.6826

이 식은 틀렸다. 새 평균은 75이고 새 표준편차는 5이므로 양 끝값을 각각 새 평균과 새 표준편차로 표준화해야 한다.

중심과 퍼짐을 분리해 수정하기

• 중심: 평균이 70에서 75로 바뀌었으므로 종 모양의 꼭짓점은 오른쪽으로 5만큼 이동한다.
• 퍼짐: 표준편차가 10에서 5로 줄었으므로 그래프는 더 좁고 높아진다.
• 구간: 65와 90은 평균 75에서 각각 10, 15만큼 떨어져 있다.

학생은 오답 줄에 별표를 표시한 뒤 다음 순서로 식을 다시 썼다.

* z₁=(65-75)/5=-2, z₂=(90-75)/5=3

따라서

P(65≤Y≤90)=P(-2≤Z≤3)=Φ(3)-Φ(-2)

표준정규분포표에서 Φ(3)≈0.99865, Φ(-2)≈0.02275이므로

P(65≤Y≤90)≈0.99865-0.02275=0.97590

그래프에서도 65는 평균보다 왼쪽에 있지만 90은 오른쪽으로 3표준편차 지점이므로, 구간 안의 넓이가 약 0.68이 아니라 약 0.976이어야 한다. 마지막으로 확률을 밀도함수의 적분으로 확인했다.

P(65≤Y≤90)=∫₆₅⁹⁰ [1/(5√(2π))]e^-(y-75)²/50dy

변수 z=(y-75)/5를 대입하면 적분 구간이 -2≤z≤3으로 바뀌어 표준화 결과와 일치한다.

조건을 바꾼 독립 검증

새 문제에서는 W ~ N(62, 8²)이고, P(54≤W≤70)을 구했다.

(54-62)/8=-1, (70-62)/8=1이므로

P(54≤W≤70)=P(-1≤Z≤1)≈0.6826

이번에는 평균 62를 중심으로 그래프를 그리고 표준편차 8에 맞게 폭을 정했다. 숫자가 바뀌어도 먼저 평균을 중심에 놓고, 각 경계값을 표준편차 단위로 변환한 뒤 넓이를 구하는 순서를 독립적으로 재현했다.