정자동고1수학과외, 원의 중심·접선·교점 조건부터 읽는 연습
정자동의 고등학교 내신 문제를 준비할 때 원의 방정식을 바로 세우는 것보다 먼저 해야 할 일이 있다. 한솔고등학교, 분당중앙고등학교, 늘푸른고등학교, 계원예술고등학교처럼 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 후 확보되는 시간이 다르더라도, 짧은 풀이 시간에 중심·접선·교점이라는 핵심정보를 추출하는 순서는 반드시 남겨야 한다. 같은 분당구의 태원고등학교는 참고 학교일 뿐 정자동 소재 학교와 구분해서 보아야 한다.
그림 없이 연립식부터 세운 답안
다음 문제의 조건을 보자.
원의 중심은 C(2, -1)이고, 원은 직선 y=3에 접한다. 이 원과 x축의 교점을 구하여라.
학생은 중심과 접선의 위치를 그림에 표시하지 않고 곧바로 원을 x²+y²+Dx+Ey+F=0으로 두었다. 이후 접선 조건을 처리하는 과정에서 반지름을 잘못 정해 식을 여러 번 고쳤지만, 답안에는 왜 그 식을 세웠는지 근거가 남지 않았다. 이 장면은 원의 방정식을 모르는 상태라기보다, 문제의 조건을 원의 정보로 바꾸는 과정이 아직 불안정하다는 뜻에 가깝다.
접선은 중심에서의 거리로 반지름을 정한다
중심 C(2,-1)에서 수평선 y=3까지의 거리는 세로 좌표의 차이이므로
r=|3-(-1)|=4
이다. 따라서 원의 방정식은
(x-2)²+(y+1)²=16
이제 교점이 x축 위에 있으므로 y=0을 대입한다.
(x-2)²+(0+1)²=16
(x-2)²=15
x=2±√15
따라서 두 교점은 (2+√15, 0), (2-√15, 0)이다. 접선 y=3은 중심의 위쪽에 있고, x축 y=0은 중심보다 1만큼 위에 있으므로 두 직선과 원의 위치를 간단히 그려 보았다면 반지름을 4로 정하는 과정이 훨씬 분명해진다.
계산 전 답안에 남길 네 가지 표시
- 중심: C(2,-1)
- 접선: y=3
- 반지름: 중심과 접선 사이의 거리 4
- 교점: x축이므로 y=0
이 네 정보를 문제 옆에 적은 뒤에야 원의 방정식과 대입 계산으로 넘어가게 한다. 특히 접선의 기울기나 접점의 좌표가 주어진 문제가 아니라면, 접선과 중심 사이의 수직거리가 반지름이라는 관계를 먼저 사용해야 한다. 학생에게는 풀이 시작 전에 “중심, 접선, 교점 조건을 표시했는가?”를 말로 확인하게 하고, 답안에도 해당 조건을 짧게 남기게 한다.
정자뜰태영데시앙2단지에서 짧게 푸는 경우에도 확인할 흔적
학교에서 귀가한 뒤 학습 시간이 짧은 학생은 풀이를 빨리 끝내려 하면서 조건 표시를 생략하기 쉽다. 이때 긴 해설을 쓰게 하기보다, 원 옆에 중심과 접선의 거리, 교점이 놓인 축만 기록하게 한다. 식만 맞는지 보지 않고 식·사용한 조건·최종 결론이 각각 있는지를 확인한다. 이는 서술형에서 계산식만 적고 근거와 결론을 빠뜨리는 문제를 줄이는 데도 연결된다.
조건을 바꾼 문제에서 다시 추출하기
훈련 문제는 다음처럼 바꾼다.
원의 중심은 C(-1,2)이고, 원은 직선 x=3에 접한다. 이 원과 y축의 교점을 구하여라.
이번에는 중심에서 접선 x=3까지의 거리가
r=|3-(-1)|=4
이므로 원의 방정식은
(x+1)²+(y-2)²=16
y축 위의 점은 x=0이므로
(0+1)²+(y-2)²=16
(y-2)²=15
y=2±√15
따라서 교점은 (0, 2+√15), (0, 2-√15)이다. 여기서 확인할 것은 답만 맞혔는지가 아니다. 학생이 먼저 중심 C(-1,2), 접선 x=3, 반지름 4, 교점 조건 x=0을 적은 뒤 계산했는지를 본다. 마지막으로 서술형 답안처럼 식과 근거, 결론을 모두 남겼다면 새로운 위치 관계에서도 원의 핵심정보를 스스로 추출한 것으로 판단한다.