운중동고2수학과외

운중동 고2수학과외, 부분합에서 일반항을 찾을 때 빠뜨린 한 줄

운중고등학교까지의 이동 시간과 주거지 위치에 따라 공부할 수 있는 시간이 달라지는 운중동에서는, 짧은 풀이 시간에도 계산 줄을 정확히 남기는 습관이 중요하다. 특히 등차수열의 부분합 문제에서는 답보다 첫째항을 따로 처리했는지가 풀이의 안정성을 가른다.

S_n−S_n−1은 n=2부터 시작한다

다음과 같이 부분합이 주어졌다고 하자.

S₁=4,　S_n=n(3n+5)/2 (n≥2)

첫째항은 차분식으로 구하지 않고 바로 확인해야 한다.

a₁=S₁=4

그다음 항부터는

a_n=S_n−S_n−1
=n(3n+5)/2−(n−1)(3n+2)/2
=(6n+2)/2=3n+1　(n≥2)

따라서 이 수열은 a₁=4이고, n≥2에서 a_n=3n+1이다. n=2일 때 a₂=7이므로 첫째항과 이후 항의 관계도 확인된다.

오답은 계산보다 조건을 지운 줄에서 생겼다

풀이 중 다음 줄이 적혀 있었다.

잘못된 줄: a_n=S_n−S_n−1 (n≥1)
수정한 줄: a_n=S_n−S_n−1 (n≥2)

달라진 기호는 ≥ 앞의 숫자 하나다. n=1이면 S₀이 필요하지만 문제에서 S₀은 주어지지 않았다. 그러므로 a₁은 반드시 S₁으로 따로 구해야 한다. 식을 전개하는 능력은 보였지만, 항번호의 범위가 바뀌는 순간 풀이가 끊긴 장면이다.

답안에는 두 줄의 범위를 남긴다

부분합 문제를 풀 때는 먼저 아래 틀을 적는다.

a₁=S₁
a_n=S_n−S_n−1　(n≥2)

이후 실제 식을 대입하고, 마지막에 n=2를 넣어 a₂=S₂−S₁인지 확인한다. 첫째항을 차분식에 포함시키지 않는다는 판단이 계산 줄에 남아야 한다.

식의 형태가 달라져도 첫 줄을 다시 세우는가

새 문항에서

S₁=6,　S_n=n(n+4) (n≥2)

가 주어졌다면 먼저

a₁=6

을 적고, n≥2에서

a_n=n(n+4)−(n−1)(n+3)=2n+3

으로 정리해야 한다. n=2를 대입하면 a₂=7이고, 실제로 S₂−S₁=12−6=6이므로 주어진 식이 등차수열의 부분합인지까지 점검할 수 있다. 이처럼 새로운 식에서는 기존 공식을 자동으로 옮기지 않고, S₁과 n≥2의 차분을 처음부터 분리해야 한다.