운중동 고3 수학과외: 표준화 그래프에서 평균과 표준편차를 구분하기
운중동에는 운중고등학교가 있고, 같은 분당구의 태원고등학교·분당대진고등학교·낙생고등학교·분당고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 학생마다 풀이를 시작하고 검산할 수 있는 시간이 달라질 수 있어, 짧은 풀이에서도 근거를 지우지 않는 습관을 먼저 확인했다.
처음 지워진 줄에서 드러난 오류
학생은 확률변수 X가 평균 70, 표준편차 8인 정규분포를 따른다고 할 때 표준화식을 다음과 같이 적었다.
Z = (X - 8) / 70
이 식은 오답이다. 표준화에서는 관측값에서 평균을 빼고 표준편차로 나누어야 하므로 정확한 식은 다음과 같다.
Z = (X - 70) / 8
학생은 이 줄을 틀린 이유를 분류하지 않고 앞의 풀이까지 모두 지웠다. 실제로는 평균 70을 빼는 과정은 맞게 적혀 있었고, 표준편차 8로 나누는 위치만 잘못되었을 수 있으므로 중간식을 보존해야 한다.
평균 이동과 표준편차 변화는 서로 다른 변환
확률밀도함수의 표준형을
f(x)=1/(σ√(2π)) · e−(x−μ)²/(2σ²)
라고 하면 평균 μ는 그래프의 중심 위치를 바꾸고, 표준편차 σ는 그래프의 퍼짐과 높이를 바꾼다. 따라서 평균이 70에서 76으로 변하면 중심이 오른쪽으로 6만큼 이동하지만, 표준편차가 8에서 12로 변하면 단순히 같은 방향으로 이동하는 것이 아니라 그래프가 넓어지고 최고점이 낮아진다.
학생과는 풀이 옆 네모칸에 조건을 먼저 적었다.
허용 범위: μ−σ ≤ x ≤ μ+σ
기존 분포: 62 ≤ x ≤ 78
변경 분포: 64 ≤ x ≤ 88
기존 분포에서 x=78은 평균보다 표준편차 1개만큼 큰 값이므로
z=(78−70)/8=1
이다. 평균만 76으로 바뀌고 표준편차가 그대로 8이면 같은 오른쪽 끝점은 84가 된다. 반면 평균 76, 표준편차 12라면 오른쪽 끝점은 88이다. 이처럼 평균 변화는 중심 좌표를 바꾸고 표준편차 변화는 허용 구간의 폭을 바꾼다.
틀린 줄을 남긴 채 검산하는 방법
- 부호 오류인지, 범위 오류인지, 공식 오류인지 틀린 줄 옆에 표시한다.
- 평균과 표준편차의 역할을 각각 확인한다. 평균은 빼고, 표준편차는 나눈다.
- x=78을 정확한 식에 대입해 z=1인지 확인한다.
- 표준화식을 역산하여 x=70+8z를 얻고, z=1일 때 다시 x=78이 되는지 확인한다.
- 그래프의 중심이 70에서 76으로 이동했는지, 폭이 8에서 12로 변했는지를 따로 표시한다.
조건을 바꾼 독립 검증
새로운 확률변수 Y가 평균 50, 표준편차 5인 정규분포를 따른다고 하자. Y=60일 때 표준화값은
z=(60−50)/5=2
이다. 평균을 54로, 표준편차를 3으로 바꾼 새로운 분포에서 y=60을 표준화하면
z=(60−54)/3=2
가 된다. 두 값의 표준화 결과는 같지만 원래 좌표의 중심과 퍼짐은 다르다. 학생은 이를 통해 평균 변화와 표준편차 변화를 하나의 평행이동으로 처리하지 않고, 중심 위치와 구간 폭을 분리해 확인했다.